Revue Construction métallique, 2000,2, 43-52

DEVERSEMENT DES POUTRES EN I SOUS CHARGEMENTS ASYMETRIQUES. LATERAL BUCKLING OF I BEAMS UNDER ASYMMETRIC LOADS F. MOHRI (1)(2) , A. BROUKI (2) et J.C. ROTH(2) (1) IUT Nancy-Brabois. Département Génie Civil. 54601 Villers lès Nancy. E-mail: Foudil. [email protected] (2) LPMM (UMR CNRS 7554) Université de Metz. Ile de Saulcy. 57045 Metz.

MOTS CLES: paroi mince, section ouverte, gauchissement, déversement, charge critique, règlement. KEYWORDS: Thin-wall, open section, warping, lateral buckling, critical load, code. RESUME: On étudie le déversement élastique des poutres à sections en I monosymétrique sollicitées par un gradient de moments. Le modèle théorique de Vlassov en torsion non uniforme est adopté. Les solutions numériques proposées sont basées sur la méthode de Rayleigh-Ritz, utilisant des fonctions sinusoïdales à plusieurs termes pour approximer les déplacements. Les exemples comparatifs présentés montrent les limites des solutions réglementaires utilisées dans l’EC3-DAN dans le cas des poutres en I monosymétriques sollicitées par des chargements asymétriques comme les gradients de moments. ABSTRACT : The elastic lateral buckling of monosymmétric I beams under gradient moments is presented. Vlassov’s model is used in the study. Numerical solutions for the critical moments are given with Rayleigh-Ritz method. The displacements shapes are approximated with several sinusoidal functions terms.The numerical results are compared to regular solutions of the the EC3-DAN. The limit of the regular solutions are shown in the case of monosymmetric I beams loaded by asymmetric loads like gradient moments I- INTRODUCTION Les éléments à parois minces et à sections ouvertes sont abondamment utilisés dans la construction métallique. Ils sont caractérisés par la légèreté et une bonne résistance en flexion. Dans le cas des éléments élancés, leur résistance est très affectée par les instabilités, comme le flambement des poteaux ou le déversement des poutres. Le déversement des poutres est caractérisé par un couplage flexion-torsion. De plus, la torsion est souvent accompagnée par le gauchissement. On parle alors de la torsion gauchie ou de la torsion non uniforme. Dans ce cas, la théorie classique basée sur le modèle de Saint-Venant en torsion uniforme n’est plus valable. En général pour l’étude de ces problèmes, c’est le modèle de Vlassov [1] qui est le plus utilisé. Il existe dans l’EC3-DAN [2] des solutions pour le calcul de la résistance d’une poutre au déversement. Ces solutions sont inspirées des travaux de Djalaly [3]. Nous proposons dans cet article une analyse critique des solutions exploitées actuellement à l’aide des résultats obtenus par nos travaux et les résultats récents trouvés dans la littérature. Après avoir décrit le modèle général de la stabilité élastique d’un élément à parois minces et à section ouverte asymétrique, nous nous intéresserons à l’étude du

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déversement des poutres à sections en I monosymétriques. Dans le cas des chargements symétriques nous validons les solutions analytiques de l’EC3-DAN. Dans le cas des chargements asymétriques, comme le cas des poutres sous gradient de moments, des solutions numériques sont utilisées. Elles sont basées sur la méthode de Rayleigh-Ritz utilisant des fonctions sinusoïdales à plusieurs termes pour les modes de déplacements. L’ensemble des résultats est comparé à ceux obtenus avec le code Abaqus et d’autres résultats trouvés dans la bibliographie. II- STABILITE ELASTIQUE Dans ce qui suit, la stabilité élastique d’un élément à parois minces et à sections ouvertes est exposée. Elle est utilisée dans l’étude du déversement des poutres en I monosymétriques. L’incidence de la répartition des charges sur les modes de déplacements et les charges critiques est ensuite étudiée. 1- ENERGIE DE DEFORMATION EN STABILITE ELASTIQUE Soit un élément rectiligne de longueur L, dont la section à l’abscisse x est caractérisée par son contour ouvert (fig.1). Les axes Gy et Gz sont les axes principaux d’inertie. Le point C est le centre de torsion. Un point M sur le contour est défini par ses coordonnées (x, y, z, ω), où ω est la coordonnée sectorielle (m2). Les hypothèses usuelles utilisées dans le modèle de Vlassov sont les suivantes : - la section droite est indéformable dans son plan. - les déformations tangentielles sont nulles le long du contour - le chargement appliqué est conservatif à un seul paramètre - la loi de comportement est élastique linéaire (Loi de Hooke). E et G sont les modules d’élasticité longitudinale et transversale. z ω/2

C(y0 , z0)

M w

G

θx

y

v

u

x Fig.1 : Elément à section ouverte. La stabilité des éléments à parois minces et à sections ouvertes est caractérisée par la relation liant les déplacements spatiaux au chargement appliqué. Du fait de la faible résistance de ces éléments à la torsion, les instabilités sont souvent accompagnées de la torsion non uniforme. Dans ce cas, la stabilité de tels éléments ne peut être traitée sans la prise en compte de la torsion, même dans le cas des chargements simples comme la stabilité sous effort normal ou sous moment de flexion. En utilisant les deux premières hypothèses, les déplacements linéarisés de M sont exprimés en fonction des déplacements (u, v, w, θx) du centre de torsion C : u M = u − yv'− zw'−ωθ x ' v M = v − ( z − z 0 )θ x

(1-a) (1-b)

wM = w + ( y − y 0 )θ x

(1-c)

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v’, w’ et θx’ notent les dérivés de v, w et θx par rapport à x. La quantité ωθx’ intervenant dans (1-a) correspond au déplacement axial de gauchissement. Pour tenir compte des instabilités, une relation non linéaire est utilisée entre les déplacements et les déformations axiales, telle que :

ε = ε l + ε nl

(2)

Avec ∂u M = u '− yv"− zw"−ωθ x " ∂x 1 1 = (u M ' ) 2 + (v M ' ) 2 + ( wM ' ) 2 ≈ (v M ' ) 2 + ( wM ' ) 2 2 2

εl =

ε nl

(

)

(

(3)

)

L’énergie de déformation de l’élément en présence de la torsion est 1 1 U = ∫ ∫ Eε 2 dSdx + ∫ GJ (θ x ' ) 2 dx 2LS 2L

(4)

(5)

Le dernier terme correspond à l’énergie de déformation des contraintes tangentielles de St Venant. En tenant compte de la relation (2), on trouve : 1 1 U = ∫ ∫ E (ε l2 + 2ε l ε nl + ε nl2 )dSdx + ∫ GJ (θ x ' ) 2 dx (6) 2LS 2L En stabilité linéaire, la contribution de ε nl2 est négligée. On a alors :

1 1 Eε l2 dSdx + ∫ GJ (θ x ' ) 2 dx + ∫ ∫ Eε l ε nl dSdx = U l + U nl ∫ ∫ 2LS 2L L S 1 1 Avec U l = ∫ ∫ Eε l2 dSdx + ∫ GJ (θ x ' ) 2 dx et U nl = ∫ ∫ Eε l ε nl dSdx 2LS 2L L S U=

(7)

En utilisant les conditions imposées par les axes principaux d’inertie, on arrive aux expressions suivantes pour U l : 1 1 U l = ∫ ES (u ' ) 2 + EI z (v" ) 2 + EI y ( w" ) 2 + EI ω (θ x " ) 2 dx + ∫ GJ (θ x ' ) 2 dx (8) 2L 2L

(

)

L’énergie de déformation Unl peut s’exprimer en fonction des efforts appliqués à la section: U nl = U nl ( N ) + U nl ( M y ) + U nl ( M z ) + U nl ( Bω ) (9) N est l’effort normal. My et Mz sont les moments de flexion autour des axes principaux, Bω est le bimoment (Nm2). L’expression de ces termes est : 1 1 r2 U nl ( N ) = ∫ N ( v' 2 + w' 2 + θ x ' 2 + z 0 v'θ x '+ y 0 w'θ x ' )dx (10-a) 2 2 2 L

U nl ( M y ) = ∫ M y ( β zθ x ' 2 + v"θ x )dx

(10-b)

L

U nl ( M z ) = ∫ M z ( β yθ x ' 2 − w"θ x )dx L

(10-c)

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U nl ( Bω ) = ∫ Bω β ω θ x ' 2 dx Iy + Iz

(10-d)

1 ω ( y 2 + z 2 )dS ∫ S 2Iω S 1 1 βy = y ( y 2 + z 2 )dS − y 0 ; β z = z ( y 2 + z 2 )dS − z 0 ∫ 2I z S 2 I y ∫S

Où r 2 =

+ y0 + z0 ; βω = 2

2

(11-a,b) (11-c,d)

r est le rayon de giration d’une section ouverte. βy , βz , βω sont les coefficients de Wagner pour une section ouverte. Iω est le moment d’inertie de gauchissement (m6 ). Ces relations permettent d’étudier les instabilités globales des éléments à parois minces et à sections ouvertes. Pour déterminer les charges critiques de flambement des barres sous effort normal N, seule U nl (N ) intervient. L’énergie de déformation utilisée dans le calcul des charges critiques est alors: U = U l + U nl (N ) (12) Les modes de flambement en flexion pure , en torsion pure ou en flexion-torsion peuvent alors être déterminés. Pour déterminer les charges critiques de déversement des poutres fléchies initialement par rapport à l’axe fort Gy, l’énergie de déformation Unl(My) est associée à Ul. L’énergie de déformation intervenant dans le calcul des charges critiques est : U = U l + U nl ( M y )

(13)

2- CAS DU DEVERSEMENT DES POUTRES EN I Considérons une poutre en I monosymétrique, sollicitée en flexion par rapport à l’axe fort par une charge répartie q appliquée à la cote zq par rapport au centre de torsion (fig.2). Le déversement est caractérisé par l ‘apparition des déplacements v et θx. Lors du déversement, la contribution des déplacements u à l’énergie de déformation est faible par rapport aux autres déplacements. D’après la relation (13), l’énergie de déformation est alors donnée par la forme simplifiée suivante : 2 2 2 1 U = ∫ EI y w"2 + EI z v"2 +GJθ x' + EI ωθ x" dx + ∫ M y (θ x v"+ β zθ x' )dx (14) 2L L

(

)

Le travail des forces q en tenant compte des effets du second ordre en torsion est donné par : 1 V = ∫ qwdx + ∫ qz qθ x2 dx (15) 2 L L Le potentiel total de l’élément est alors : 2 2 2 1 1 Π = U −V = ∫ EIy w"2 + EIz v"2 +GJθ x' + EIωθ x" dx+ ∫ M y (θ xv"+βzθ x' )dx− ∫ qwdx− qzqθ x2dx (16) 2L 2 L

(

)

θx

q v x

z

L Fig.2 : Déversement d’une poutre en I

q zq z0

C G z

y

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2-1 EXPRESSIONS ANALYTIQUES DES CHARGES CRITIQUES Des solutions analytiques donnant les charges critiques de déversement des poutres en I sollicitées par différents cas de charges sont proposées dans la bibliographie [1] [4] [5]. Les méthodes de Ritz et de Galerkin sont les plus utilisées dans ces études. La méthode de Ritz est basée sur la minimisation du potentiel total Π. La méthode de Galerkin est appliquée aux équations différentielles d’équilibre obtenues par application des variations au potentiel total Π. Dans le cas d’une poutre bi-articulée en flexion-torsion, les équations d’équilibre suivantes sont obtenues :

EI y w ( 4) = q

(17-a)

EI z v " + M yθ x = 0

(17-b)

EI ωθ x( 4 ) − (GJ + 2 β z M y )θ x" − 2 β z M y' θ x' − qz qθ x + M y v" = 0

(17-c)

d 4w dx 4 L’équation (17-a) est l’équation d’équilibre classique suivant l’axe z. Les équations 17-b,c) sont les équations d’équilibre de la poutre après déversement. Ces équations peuvent être découplées en utilisant la relation 17-b liant les déplacements v et θx. On arrive à l’équation suivante : M y2 (4) " ' ' EI ωθ x − (GJ + 2 β z M y )θ x − 2 β z M yθ x − qz qθ x − θx = 0 (18) EI z Les charges critiques de déversement sont obtenues en approchant le déplacement θx par une fonction qui respecte les conditions aux limites. En 1974, Djalaly [3] a appliqué la méthode de Galerkin à une équation équivalente à la relation (18) pour calculer les charges critiques de déversement des poutres en I monosymétriques. Il a proposé des solutions dans le cas des poutres simplement appuyées sollicitées par un gradient de moment (M0,βM0) et par des charges transversales. L’expression analytique du moment critique de déversement est : Où w ( 4) =

M cr = C1

π 2 EI z  L2

(C 2 z q + C 3 β z ) ± 

(C

z + C3 β z ) + 2

2 q

Iω GJL2  (1 + 2 ) Iz π EI ω 

(19)

Les valeurs de C1, C2 et C3 dépendent du type de chargement appliqué à la poutre. Dans le cas d’une poutre à section monosymétrique sollicitée par une charge répartie ou des charges concentrées, les 3 coefficients C1, C2 et C3 interviennent dans les calculs. Par contre dans le cas d’une poutre sollicitée par un gradient de moments appliqués aux appuis, seuls C1 et C3 interviennent dans la solution analytique ( car zq = 0 dans ce cas). Nous avons étudié le déversement des poutres en I monosymétriques sous chargements symétriques et asymétriques en appliquant la méthode de Ritz au potentiel Π donné par la relation (16) et la méthode de Galerkin appliquée à l’équation (18). Les coefficients intervenants dans la relation (19) ont été recalculés pour les différents cas de charge. Cela nous a permis de valider les solutions de l’EC3-DAN et aussi de trouver les bonnes valeurs du coefficient C3 dans le cas des poutres sollicitées par des charges concentrées [6]. Le cas des poutres sous gradient de moments est discuté ci-dessous.

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2-2- VALIDITE DES SOLUTIONS ANALYTIQUES DANS LE CAS DES CHARGEMENTS ASYMETRIQUES Les solutions analytiques adoptées dans l’EC3-DAN pour le calcul des charges critiques de déversement des poutres ont été évaluées en approchant les déplacements θ x par un seul terme sinusoïdal correspondant à des modes symétriques. Dans le cas des poutres simplement appuyées en flexion et en torsion et sollicitées par un gradient de moments M0,βM0 appliqué au niveau des appuis, la fonction utilisée par Djalaly [3] pour approcher les déplacements θx(x) est: x θ x ( x) = θ 0 sin(π ) (20) L L’expression du moment de flexion est : x x M y ( x) = M 0 (1 − ) + βM 0 L L

(21)

En utilisant ces deux relations dans l’équation 17-b, il est facile après intégration de trouver le mode de déplacement transversal v(x). Par application de la méthode de Galerkin à la relation (18), on trouve pour les coefficients C1 et C3 les expressions suivantes en fonction de β:

C1 = Avec a1 =

1 a1

C3 = C1

1+ β 2

(22)

2π 2 − 3 2 6 + 2π 2 ( + 1 ) + β β 6π 2 6π 2

Les valeurs de ces coefficients sont données pour quelques valeurs de β dans le tableau 1. Ces mêmes valeurs sont adoptées actuellement dans l’EC3-DAN.

β C1 C3

1 1/2 0 -1/2 -3/4 -1 1 1.324 1.881 2.711 2.94 2.766 1 0.993 0.94 0.678 0.368 0 Tableau 1 : Valeurs de coefficients C1 et C3 en fonction de β.

En stabilité, les modes des déplacements dépendent du chargement appliqué et de la forme de la section. Ils sont symétriques seulement dans le cas des chargements symétriques. Dans le cas d’une poutre sous gradient de moments, seul le cas β =1 (moment uniforme ) est symétrique. Les modes théoriques et numériques pour les déplacements θx et v(x) en fonction de β sont donnés dans la fig.3, pour une poutre à section en I bisymétrique. Les déplacements numériques sont obtenus avec le code Abaqus où des éléments poutres 3D avec gauchissement sont choisis. Les mêmes déplacements, tirés de la référence [7], sont donnés dans les cas d’une section monosymétrique et une section en Té, pour les valeurs de β ≤ 0 (fig.4 et 5). On constate que les déplacements obéissent à la relation (20) seulement dans le cas d’une poutre sollicitée par un moment uniforme (β =1). De plus, les modes de déplacements dépendent de la forme de la section. Néanmoins, on constate que dans le cas des poutres à sections bisymétriques, les déplacements θ(x) pour différentes valeurs de β sont proches du mode symétrique obtenu pour β = 1 (fig.3a). Pour le déplacement transversal v(x),

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les modes théoriques calculés d’après (17-b) sont aussi proches des valeurs numériques (fig.3b). Dans le cas des sections monosymétriques les modes de déplacements θ(x) et v(x), pour les valeurs de β ≤ 0 sont très différents des modes théoriques (fig.4a et b). Ces modes sont encore plus complexes dans le cas d’une section en Té (fig.5a et b). Pour ces deux sections, le mode de déplacements θ(x) ne peut pas être estimé par un seul terme comme celui dans la relation (20). Dans ce cas, la validité des solutions analytiques utilisées pour le calcul de la résistance au déversement des poutres sous gradients de moments doit être étudiée. Plusieurs auteurs ont critiqué la validité des coefficients C1 et C3 dans le cas d’une poutre sous gradient de moments. Dans l’EC3-DAN, une valeur limite pour C1 égale à 2,70 est fixée. Trahair [4] propose une solution analytique pour le moment critique par la méthode de Ritz en approximant les déplacements par plusieurs termes sinusoïdaux. Sa solution est aussi approchée et la valeur de C1 est limitée par l’auteur à 2,56. 1

1,0 θ β=1 β=0 β = −1/2 β = −3/4 β = −1

0,5

β=1

v

0,5

-0,5

β = -1/2 β = -3/4

0 0,5

Fig.3a:

b

x/L 0,0

x/L -

β=0

1,0

modes θ(x)

0,50

1,00

b

β = -1

-1,0

Fig.3b: v(x): modes numériques et théoriques

Fig.3 : section bisymétrique : modes d’une poutre sous gradient de moments 1

1 β=0

0,5

β = −1/2

0,5

0 -0,5

β = −1 0 -

b

β=0 β=−1/2

0,5

x/L

1,0

b/2

β=−1

0,5

x/L

Fig.4a: mode θ(x) pour β ≤ 0

1,0

-1

Fig.4b: mode v(x) pour β ≤ 0

Fig.4 : section monosymétrique : modes d’une poutre sous gradient de moments d’après [7].

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1

1

β=0

β=0

β = −1/2

0,5

β = −1/2

0,5

β = −1

β = −1

0 -

0,5

x/L

1,0

-0,5

0 -

0,5

x/L

1,0

-1

Fig.5a: mode θ(x) pour β ≤ 0 Fig.5b: mode v(x) pour β ≤ 0 Fig.5 : Section en Té : Modes d’une poutre sous gradient de moments (d’après [7])

3- MÉTHODE DE RAYLEIGH-RITZ Pour tenir compte de la dépendance des modes de déplacement et du chargement, il est nécessaire d’exprimer les déplacements par une fonction à plusieurs termes. Par la méthode de Rayleigh-Ritz, une bonne approximation des charges critiques de déversement est alors obtenue quand les fonctions utilisées correspondent aux déplacements réels de la poutre. Cette méthode a été appliquée par Kitipornchai & al [7] pour le calcul des charges critiques d’une poutre sous gradient de moments. Elle a été reprise dans les travaux de Brouki [8] pour le calcul des charges critiques de poutres biarticulées et des poutres consoles sollicitées par des chargements asymétriques. Les déplacements ont pour expression générale : n  v ( x ) = ai f i ( x) ∑  i =1  n θ x ( x) = ∑ bi g i ( x)  i =1

(23)

Les fonctions fi(x) and gi(x) sont des fonctions sinusoïdales vérifiant les conditions aux limites. ‘n’ est le nombre de termes nécessaires pour approcher les déplacements réels. En tenant compte des relations (23), et après intégration, l’énergie de déformation Π se met sous une forme quadratique des coefficients ai, et bi . Les conditions de stationnarité donnent :  ∂Π  ∂a = 0 i = 1,.., n i (24)  ∂Π  = 0 i = 1,.., n  ∂bi Ce système d’équations linéaires et homogènes s’écrit sous forme matricielle :

[A]{ϕ } = {0}

{ϕ } = {a1 b1 a 2 b2 ...a n

bn

}

t

(25)

[A] est une matrice (2n x 2n) dont les coefficients sont fonction des caractéristiques géométriques et des charges appliquées. Pour avoir des solutions non triviales, on doit avoir :

det[A] = 0

(26)

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L’étude de la variation des solutions de (26) en fonction de ‘n’ permet de constater leur convergence vers des valeurs précises qui deviennent insensibles à l’augmentation de ‘n’. La charge critique de déversement correspond à la plus petite racine du déterminant. L’ensemble des calculs numériques de cette méthode est traité par calcul formel avec Maple 5. Dans ce cas, seules des solutions numériques peuvent être trouvées. Les résultats obtenus sont donnés dans l’annexe 1. Les notations suivantes sont utilisées dans l’étude: g=

- Coefficient de charge : - Coefficient d’élancement : k =

M0L

(27)

EI z GJ

4GJL

2

(28)

π 2 EI z (h − t f ) 2 ρ =

- Coefficient de monosymétrie :

(I z ) s (I z ) s + (I z )i

(0 ≤ ρ ≤ 1)

(29)

(Iz)s et (Iz)i sont les moments d’inertie des semelles par rapport à l’axe z (fig.6). Les valeurs de ρ égales à 0 et 1 correspondent à des sections en Té. Pour une section bisymétrique, ce coefficient est égal a 0.5. z

tf

C G

h

(Iz)s (Iz)i

tf

ρ =1 ρ = 0.5 z Fig.6 : Coefficient de monosymétrie ρ.

ρ =0

La variation du facteur de charge ‘g’ en fonction du coefficient d’élancement ‘k’ est donnée pour plusieurs valeurs de β variant de +1 à -1. Différents coefficients de monosymétrie ρ sont considérés (ρ = 0 ; 0.3 ; 0.5 ; 0.7 ; 0.9 et 1). Pour les valeurs de β positifs, la convergence est obtenue pour n = 3. Pour les valeurs de β négatifs, la convergence est obtenue avec n = 8.

III- APPLICATIONS Les charges critiques de déversement numériques et réglementaires sont calculées pour une poutre sollicitée par un gradient de moment (M0,βM0). Trois sections sont considérées dans l’étude. La première section (section a) est une section en I bisymétrique type IPE300. La deuxième section (section b) est une section en I monosymétrique obtenue à partir de l’IPE300 en réduisant la largeur de la semelle inférieure. La troisième section est une section en Té. Les caractéristiques géométriques d’une section ouverte traitées et en particulier celles de la torsion non uniforme sont calculées automatiquement, par intégration le long du contour ouvert . On obtient le moment d’inertie de gauchissement Iω, la position du centre de torsion (y0, z0), ainsi que les coefficients de Wagner βy et βz . Les expressions analytiques approchées pour les caractéristiques géométriques des sections en I sont données dans [9]. Pour le calcul numérique des charges critiques, nous utilisons également le code Abaqus. Des éléments poutres 3D utilisant le modèle de Vlassov en torsion non uniforme sont choisis. Les charges critiques sont obtenues à partir de la résolution du problème des

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valeurs propres. Les matrices de rigidité élastique et géométrique d’un élément à section ouverte sont données dans les références [10] et [11]. Nos résultats sont aussi comparés à ceux trouvés dans la bibliographie ( [7], [13] et [14]).

1- CAS DES SECTIONS BISYMETRIQUES La section de la poutre en acier est un IPE300. Les caractéristiques géométriques utilisées dans les calculs sont données dans le tableau 2. Les solutions numériques sont obtenues avec le code Abaqus et la méthode de Rayleigh-Ritz (Annexe 1). Le tableau 3 donne les moments critiques numériques et réglementaires selon l’EC3-DA N, pour les valeurs de β positifs. Pour les valeurs de β = 1 et 1/2, les solutions réglementaires donnent les mêmes valeurs que les solutions numériques obtenues par Abaqus et la méthode de RayleighRitz (notée R-Ritz). Pour la valeur de β = 0, les solutions réglementaires sont supérieures aux solutions numériques. Les moments critiques numériques et réglementaires, pour les valeurs de β négatifs, sont donnés dans le tableau 4. De même, les solutions réglementaires sont supérieures aux solutions numériques. Ceci est du au fait que les modes de déplacements sont asymétriques. D’autres exemples comparatifs avec d’autres sections en I bisymétriques ont montré que la différence peut atteindre 10% [12]. b;tf h

tw

b;tf

Section (a): IPE 300 h =300; b =150; t f = 10,7; t w = 7,1 (mm), ρ = 0,5 I z = 602,7cm4; J = 15,57cm4; I ω =125,93 x103 cm6; βz = 0,0 E = 21. 104 MPa ; G = 8.104 MPa

Tableau 2: Caractéristiques géométriques de la section (a) β =1 β =1/2 β=0 L(m) EC3 Abaqus R-Ritz EC3 Abaqus R-Ritz EC3 Abaqus R-Ritz 3 240,24 240,0 240,43 317,83 317,6 317,51 451,64 441,5 444,64 4 150,19 150,53 150,9 198,25 198,72 199,1 282,36 277,39 278,23 5 107,25 107,56 107,97 141,57 141,91 142,2 201,63 197,68 198,41 6 82,95 83,223 83,029 109,49 110 110,35 155,95 152,51 153,84 7 67,564 67,804 67,384 89,184 89,382 90,011 127,02 129,89 124,83 8 57,02 57,234 57,447 75,266 75,416 75,609 107,2 104,29 104,6 Tableau 3 : Moments critiques numériques et réglementaires de la section (a) en fonction de L , pour un gradient β ≥ 0 β (valeurs en kNm).

L(m) 3 4 5 6 7 8

β = -1/2 β = -3/4 β = -1 EC3 Abaqus R-Ritz EC3 Abaqus R-Ritz EC3 Abaqus R-Ritz 649,6 623 623,77 703,17 683 686,56 660,65 654 657,22 405,52 387,28 388,77 439,61 425,91 428,52 413,03 408,41 411,46 289,57 275,06 275,91 313,92 303,22 304,59 294,93 290 293,45 223,97 211,37 212,74 242,8 233,47 235,25 228,11 225,4 227,48 182,42 171,02 171,83 197,76 189,18 190,27 185,8 183,23 184,53 153,95 143,4 143,45 166,9 158,8 159,03 156,81 154,26 154,61 Tableau 4 : Moments critiques numériques et réglementaires de la section (a) en fonction de L , pour un gradient β négatif. (valeurs en kNm).

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2- CAS DES SECTIONS MONOSYMETRIQUES Conci [13] a utilisé la méthode des éléments finis pour étudier la stabilité des poutres à sections monosymétriques sous gradients de moments. Ses résultats sont portés ci dessous pour comparaison. Les caractéristiques géométriques de la section en I monosymétrique utilisée dans les calculs sont données dans le tableau 5. La fig.7 donne la variation des moments critiques numériques et réglementaires pour une poutre sollicitée par des gradients de moments M0, βM0 (avec β ≥ 0 ). Nos solutions sont notées (Mcr). Dans ce cas, les valeurs des solutions réglementaires sont sensiblement les mêmes que celles des solutions numériques et ceci principalement pour les valeurs de β = 1 et 1/2. La variation des moments critiques numériques et réglementaires avec L est donnée dans la fig.8, pour β = - 1/2. Les fig. 9 et 10 donnent celles de β = -3/4 et –1. Les moments critiques réglementaires sont très élevés par rapport à ceux de la méthode de Rayleigh-Ritz et surtout pour les valeurs de β égales à – 3/4 et –1. La différence entre les deux solutions peut atteindre 70%. Nos résultats sont proches de ceux de Conci. Ceci montre la limite des solutions réglementaires dans le cas des sections monosymétriques sollicitées par des chargements asymétriques. b;tf h

Section (b): Comme la section (a). La largeur de la semelle inférieure b i est réduite à 72 mm. I z = 335,05 cm4; J = 12,39cm4; I ω =25081 cm6; βz = 10,77cm; z 0 = 8,8cm ; ρ = 0,9 Wpy = 463.70 cm3 (module plastique)

tw

bi;tf

Tableau 5: Caractéristiques géométriques.

Mcr(kNm)

EC3(1) Mcr(1) EC3(1/2) Mcr(1/2) EC3(0) Mcr(0)

Section b

400 300 200 100 0 3

4

5

L(m)

6

7

8

Fig.7 : Section (b) :Variation des moments critiques numériques et réglementaires ( β ≥ 0 ).

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500

Mcr(kNm)

Section b

EC3(-1/2) Mcr(-1/2) Conci(-1/2)

400 300 200 100

L(m) 3

4

5

6

7

8

Fig.8: Section (b) :Variation des moments critiques numériques et réglementaires (β = - 1/2). 450

Mcr(kNm)

section b

350

EC3(-3/4) Mcr(-3/4)

250 150 50 3

4

5

L(m)

6

7

8

Fig.9: Section (b) :Variation des moments critiques numériques et réglementaires (β = - 3/4). (Ce gradient de moments n’a pas été étudié par Conci [13])

350

Mcr(kNm)

Section b EC3(-1)

250

Mcr(-1) Conci(-1)

150

50

L(m) 3

4

5

6

7

8

Fig.10: Section (b) :Variation des moments critiques numériques et réglementaires (β = -1).

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3- CAS DES SECTIONS EN TE Les caractéristiques géométriques de la section en Té utilisée dans les calculs sont données sont données dans le tableau 6. Les moments critiques réglementaires et nos résultats numériques obtenus avec la méthode de Raghleigh-Ritz (R-Ritz) sont portés dans le tableau 7, pour les valeurs de β ≥ 0 (β = 1, 1/2, 0). Le tableau 8 donne les moments critiques pour les valeurs de β négatifs (β = -1/2, –3/4 et –1) . Les moments critiques tirés des travaux de Conci [13] sont aussi donnés ( la valeur de β = -3/4 n’a pas été traitée par l’auteur). Pour les valeurs de β positifs, les solutions numériques et réglementaires sont sensiblement les mêmes. Pour les valeurs de β ≤ 0 , les valeurs réglementaires sont très supérieures aux solutions numériques obtenues par la méthode de Rayleigh-Ritz. Nos résultats sont en accord avec ceux de Conci, pour toutes les valeurs de β. La résistance d’une poutre à section monosymétrique est meilleure quand la semelle la plus large est en compression. C’est le cas des sections en Té sollicitées par des gradients de moments β ≥ 0 (tableau 7) . Pour les valeurs de β négatifs la résistance au déversement des sections en Té est faible, car dans ce cas, la semelle est en traction et la compression est reprise seulement par une partie de l’âme. Pour la valeur de β = -1, la résistance de la poutre est la plus faible. La résistance au déversement d’une poutre tend asymptotiquement vers une valeur faible. Selon la section considérée, le moment critique devient insensible à L, au-delà d’une certaine portée. Dans le cas des sections en Té sollicitées par des gradients de moments négatifs, du fait de leur faible résistance au déversement, des valeurs du moment critiques presque constantes sont obtenues pour des portées faibles (tableau 8). Pour la valeur de β = -1, la résistance au déversement est moins sensible à la longueur L. Plusieurs auteurs ont noté ce phénomène ([4], [7]). De ce fait une attention particulière a été portée à l’étude des poutres à section en Té. Kitipornchai & al [14] ont étudié le déversement élastique de ces sections sous gradients de moments. Ils ont obtenus les résistances les plus faibles pour les valeurs de β = -1/2 et β = -1. De même, pour la valeur β = -1, le moment critique de déversement ne varie très peu avec la longueur. Nous avons repris les exemples traités dans [14]. Les mêmes résultats sont obtenus. Ces exemples montrent que les sections en Té ne sont plus adaptées aux sollicitations mettant en traction la semelle, tel que les gradients de moments négatifs. b;tf h

L 3 4 5 6 7 8

EC3 189,87 116,65 81,661 61,891 49,434 40,965

tw

β =1 R-Ritz 205,38 124,81 87,095 65,642 52,017 42,728

Section en Té h = 300mm , b = 150mm tf = 10.7mm, tw = 7.1 mm I z = 301.77 cm4; J = 9.45 cm4; I ω = 319.45 cm6; z0 = 7.98cm ; βz = 11.63 cm , ρ = 1., Wpy = 295.75 cm3 (module plastique) Tableau 6 : Caractéristiques géométriques .

Conci 208,63 128,66 86,931 62,706 51,662 43,465

EC3 249,7 153,54 107,56 81,565 65,177 54,031

β =1/2 R-Ritz 271,01 166,44 115,92 87,079 68,809 56,382

Conci

272,38 162,99 123,79 86,931 66,067 57,374

EC 341,17 210,96 148,46 113 90,561 75,253

β =0 R-Ritz 364,51 224,37 157,45 119,13 94,721 78,029

Conci 359,313 217,327 168,298 118,226 99,3493 78,2376

Tableau 7 : Moments critiques numériques et réglementaires de la section en Té pour β ≥ 0

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L 3 4 5 6 7 8

EC3 394,7 252,93 182,95 142,21 115,86 97,54

β = -1/2 R-Ritz 79,8268 77,5929 81,4688 79,9058 75,8469 71,1935

Conci 57,954 60,851 65,372 62,706 62,093 64,329

EC3 317,62 216,25 163,03 130,53 108,71 93,089

β = -3/4 R-Ritz Conci 49,583 Non traité « 48,159 « 50,873 « 50,06 « 47,601 « 44,731

EC 201,24 150,61 120,37 100,26 85,908 75,154

β = -1 R-Ritz 35,892 35,285 35,025 34,123 33,273 31,156

Conci 30,136 30,426 29,209 28,977 26,824 24,341

Tableau 8: Moments critiques numériques et réglementaires de la section en Té pour β p 0

4- INCIDENCE SUR LE MOMENT RESISTANT Dans l’EC3-DAN, la résistance au déversement intervient à l’état limite ultime (ELU), dans le calcul du moment résistant de la poutre MRd. Le moment résistant d’une poutre est déterminé par le calcul du coefficient de réduction χ LT affectant le moment résistant de la section. Dans le cas des sections laminées, ce coefficient est déterminé à partir de l’élancement réduit λ LT et de la courbe (a) des courbes européennes de flambement [2]. Les moments résistants de la section monosymétrique b et la section en Té traitées précédemment, sont calculés ci dessous dans le cas des sections de classe 1 et pour un acier S235. Pour la section b, le moment plastique Mpy calculé est égal à 115,92 kNm. Pour la section en Té, le moment plastique est égal à 69,5 kNm. Comme les moments critiques réglementaires et numériques calculés par la méthode de Rayleigh-Ritz sont les mêmes dans le cas des gradients positifs, seuls les moments résistants des poutres sollicitées par des gradients négatifs sont calculés. Pour la section monosymétrique (b), les moments résistants réglementaires et les moments résistants calculés à partir des moments critiques de la méthode de Rayleigh-Ritz sont donnés dans le tableau 9. Pour les valeurs de β = 0 et –1/2, les moments résistants numériques et réglementaires sont très proches. La différence entre les moments résistants est très sensible pour les valeurs de β = -3/4 et –1. Elle peut atteindre 25 % pour β = -1. Pour la section en Té, les moments résistants réglementaires et numériques sont donnés dans le tableau 10. Pour β = 0 , les moments résistants numériques et réglementaires sont égaux car les moments critiques trouvés sont très proches. Pour les valeurs de β = -1/2, -3/4 et -1, les moments critiques réglementaires sont tous supérieurs au moment plastique de la poutre. Le moment résistant de la poutre a été réduit très peu par rapport au moment plastique de la section. Par contre selon la méthode de Rayleigh-Ritz, les moments critiques sont tous inférieurs au moment plastique de la poutre. Le déversement se produit dans le domaine élastique. Le moment résistant de la poutre est très faible par rapport au moment plastique de la section. Pour les valeurs de β négatifs, la différence entre les moments critiques numériques et réglementaires est très importante. Elle peut atteindre 100% pour le gradient de moments β = -1.

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β=0 EC3 R-Ritz 105,74 105,54 99,104 98,8392 91,145 90,8631 82,312 81,8639 73,516 72,7801 65,511 64,6414

L 3 4 5 6 7 8

β = -1/2 EC3 R-Ritz 107,57 105,86 102,55 100,6 96,885 94,913 90,599 88,72 83,956 82,29 77,34 75,799

β = -3/4 EC3 R-Ritz 106,31 100,03 101,04 92,458 95,246 85,552 89,007 78,666 82,593 72,155 76,329 66,534

β = -1 EC3 R-Ritz 102,36 91,283 95,676 80,115 88,574 71,843 81,412 64,486 74,587 58,163 68,362 53,01

Tableau 9 : Moments résistants numériques et réglementaires pour la section monosymétrique b pour β p 0 . (Mpy=115.92 kNm) β=0 EC3 R-Ritz 65,2428 65,53 62,5222 62,949 59,4252 60,037 55,9183 56,694 52,0913 52,947 48,1432 48,966

L 3 4 5 6 7 8

β = -1/2 EC3 R-Ritz 65,855 49,472 63,704 48,841 61,417 49,916 58,949 49,494 56,292 48,324 53,484 46,84

β = -3/4 EC3 R-Ritz 64,913 37,545 62,697 36,778 60,38 38,224 57,919 37,798 55,319 36,471 52,621 34,846

β = -1 EC3 R-Ritz 62,176 29,334 59,579 28,638 56,84 29,489 53,971 28,862 51,034 27,557 48,113 26,074

Tableau 10 : Moments résistants numériques et réglementaires pour la section en Té pour β p 0 . (Mpy = 69.5 kNm)

IV- CONCLUSIONS Le déversement des poutres en I monosymétriques sous gradient de moments a été étudié dans le cas des chargements asymétriques. Dans ce cas, les modes de déplacements lors du déversement sont alors asymétriques. Les solutions analytiques réglementaires ont été obtenues par l’approximation des déplacements par des fonctions symétriques. Afin de tenir compte des modes de déplacements réels, une méthode basée sur la méthode de Rayleigh-Ritz est proposée. Les déplacements sont exprimés par des fonctions sinusoïdales à plusieurs termes. Des solutions numériques sont proposées dans le cas des poutres en I sollicitées par un gradient de moments M0, βΜ0 . Les exemples comparatifs étudiés conduisent aux conclusions suivantes : -

-

-

Dans le cas des sections en I bisymétriques, les solutions réglementaires sont les mêmes que les solutions numériques dans le cas des valeurs de β positives. Pour les valeurs de β négatifs, les solutions réglementaires sont approximatives. Elles donnent des valeurs supérieures aux solutions numériques. Dans les cas des sections en I monosymétriques, les solutions réglementaires et numériques sont très proches dans le cas des valeurs de β positives. Pour les valeurs de β négatives, la différence entre les solutions réglementaires et numériques est très importante. De plus, les moments critiques de déversement sont surévalués par les solutions réglementaires. Dans les cas des poutres à sections en Té, sollicitées par des gradients de moments négatifs, la différence entre les solutions réglementaires et numériques est encore

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très importante. Les moments critiques de déversement sont surévalués par les solutions réglementaires. -

La comparaison des moments résistants des poutres à sections monosymétriques a montré que les solutions réglementaires actuelles conduisent à des moments résistants surestimés, dans les cas des gradients de moments négatifs. Cela va à l’encontre de la sécurité recherchée dans les règlements généralement.

Les exemples comparatifs présentés ont montré que les solutions réglementaires sont ‘exacts’ seulement dans le cas des poutres en I bisymétriques sollicitées par des gradients de moments positifs. Les solutions numériques proposées sont valables pour les sections en I monosymétriques sollicitées par les gradients de moments positifs et négatifs. Elles peuvent être utilisées pour calculer les moments critiques et la résistance au déversement des poutres à sections en I monosymétriques.

REFERENCES [1] : Vlassov, V.Z. (1962): Pièces longues en voiles minces. (Eyrolles). [2]: EC3 (1997): Calcul des structures en acier et document d’application nationale. Partie 1.1 Règles générales et règles pour le bâtiment. Eyrolles. [3] : Djalaly (1974) : Calcul de la résisitance ultime au déversement. Revue Construction Métallique. N°1. pp :58-77. [4] : Trahair, N.S (1993) : Flexural-torsional buckling of structures. Chapman&Hall. London [5] : Timoshenko, S.P. and Gere, J.M. (1961) : Theory of Elastic Stability, 2nd ed., McGraw Hill, Inc, New York, N.Y. [6] : Mohri, F. ; Brouki A. (1999) Behaviour and instabilities of open thin-walled elements. Part 2 : Instabilities. 6th Int. Colloqiumon on stability & ductility of steel strucutres. 9-11 Sept. Timisoara. Roumanie. [7]: Kitipornchai, S., Wang, C.M., and Trahair, N.S. (1986): Buckling of monosymmetric Ibeams under moment gradient. Jour. of Struc. Engineering. Vol. 112 N°4 April, pp781-799. [8]: Brouki, A. (1998): Déversement des poutres à parois minces et à sections ouvertes. Aspects numériques et réglementaires. Thèse université de Metz . [9] : APK (1996) : Constructions métalliques et constructions mixtes acier-béton. Eyrolles. [10] : Barsoum, R.S., Gallagher, R.H. (1970): Finite element analysis of torsional-flexural stability problems. Int. Jour. Of Num. Meths. Vol. 2 pp335-352. [11]: Bazant, Z.P. and EL Nimeiri (1973). Large-Deflection Spatial Buckling of Thin-walled beams and Frames. Jour. of the Eng. Mech. Div. Vol.99, N°EM6. pp.1259-81. [12] : Mohri, F, Brouki, A, Roth, J.C. (1999) : Lateral buckling of thin-walled beams under asymmetric loads. Eurosteel. 2nd European Conference on Steel Structures. Praha (Czech Rep.). May 26-29. [13] : Conci A. (1992) : Large displacement analysis of thin-walled beams with generic open section. Int. Jour. For Num. meths . in Engineering. Vol. 33. 2109-2127. [14] : Kitipornchai, S and Chan, S.L. (1987) : Nonlinear finite element enalysis of angle end tee beams-columns. Jour. of the Struc. Engineering, ASCE, Vol.113, N°4. April. pp.721-739.

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ANNEXE : FACTEUR DE CHARGE G POUR UNE POUTRE SOLLICITEE PAR UN GRADIENT DE MOMENTS (M 0, βM 0) Les courbes ci dessous sont obtenues par calcul numérique. Elles permettent de calculer le facteur de charge g en fonction du coefficient d’élancement k. La poutre est sollicitée par un gradient de moments M0, βM0. Ces courbes sont établies pour des sections en I monosymétriques. Le coefficient de monosymétrie est ρ. Le rapport entre le moment I d’inertie de flexion z est égal à 0,1. Pour calculer le moment critique M0 d’une poutre Iy sollicitée par un gradient de moments. On procède comme suit : - On calcule l’élancement de la poutre k =

4GJL

2

π 2 EI z (h − t f ) 2

,

(I z ) s (I z ) s + (I z )i - Suivant la valeur de β, on utilise l’une des figures ci-dessous. Selon la valeur de k et ρ, on détermine la valeur de g. g - Le moment critique M0 est alors : M cr = M 0 = EI z GJ L - On calcule le coefficient de monosymétrie ρ =

15 g

ρ=0 ρ = 0,1 ρ = 0,3 ρ = 0,5 ρ = 0,7 ρ = 0,9 ρ=1

β =1

12 9 6 3

k 0 0

2

4

6

8

Fig.I-1 : Facteur de charge g d’une poutre sous gradient de moments (β = 1)

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20 g

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

β =1/2

15

10

= = = = = = =

0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1

5 k 0 0

2

4

6

8

Fig.I-2 : Facteur de charge g d’une poutre sous gradient de moments ( β = 1/2) 30

g

ρ=0 ρ = 0,1 ρ = 0,3 ρ = 0,5 ρ = 0,7 ρ = 0,9 ρ=1

β =0

25 20 15 10 5

k 0 0

2

4

6

8

Fig.I-3 : Facteur de charge g d’une poutre sous gradient de moments ( β = 0) g β = - 1 /2

2

4

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

6

= = = = = = =

k

0 0 ,1 0 ,3 0 ,5 0 ,7 0 ,9 1

8

Fig.I-4 : Facteur de charge g d’une poutre sous gradient de moments ( β = -1/2)

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g

ρ=0 ρ = 0,1 ρ = 0,3 ρ = 0,5 ρ = 0,7 ρ = 0,9 ρ=1

β = -3/4

2

4

k

6

8

Fig.I-5 : Facteur de charge g d’une poutre sous gradient de moments ( β = -3/4)

g

β =-1

ρ= 0−1 ρ=0,1 − 0,9 ρ=0,3 − 0,7 ρ=0,5

2

4

6

k

Fig.I-6 : Facteur de charge g d’une poutre sous gradient de moments ( β = -1)

8