Stofftransport im Plattendialysator
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Biomedizinische Technik Band 21 Heft 6/1976
Blomed. Techn. 21 (1976), S. 170—178
Stofftransport im Plattendialysator*
H. F. Bauer
Mass Transport in a Kiil-Artificial Kidney Georgia Institute of Technology» Atlanta, Ga./USA Es wird der Stofftransport in einem Plattendialysator untersucht. Dabei wird zunächst die Strömung mit Filtration über die permeablen Wände behandelt. Der Stofftransport über die Membranen wird für konstante Anfangskonzentration und konstante Außenkonzenration numerisch bestimmt. Für langsame Strömung der Flüssigkeit ergift sich für die Axialgeschwindigkeit eine parabolische Verteilung über den Querschnitt des Spaltes und eine kubische Geschwindigkeitsverteilung für die Querströmung. Eine vergrößerte Filtrationsrate ergibt ein fülligeres Geschwindigkeitsprofil in axialer Richtung. Das Konzentrationsprofil verkleinert sich in der Nähe der Membranwand und wird mit wachsender Lauflänge kleiner und flacher. Mit vergrößerten Molekulartransporteigenschaften der Membrane zeigt das Konzentrationsprofil stärkere Abnahme, die besonders in der Umgebung der Membrane ausgeprägt auftritt. Flow and mass transport are determined in an artificial kidney of the Kiil-type. First the flow behaviour in a flat "conduit", with filtration across the permeable membrane walls is investigated. In addition the mass transport across the membrane in the "conduit" is determined if at the inlet the concentration is a given constant and the concentration outside the membrane is considered constant. ^ For slow flow of the liquid the axial velocity distribution is of parabolic, the cross velocity distribution is of cubic form. Increased filtration rate exhibits a fuller profile for the axial velocity. The concentration profile decreases near the membrane wall and exhibits further down the "conduit" a flatter and smaller concentration profile. With increasing molecular transport properties of the membrane, the profile exhibits a stronger decrease and in the vicinity of the membrane manifests a larger concentration decrease.
1. Einleitung
Die wichtigste Funktion der Niere [5, 7,10] ist die Regulierung des Wasserhaushalts im Körper und die Erhaltung des Gleichgewichtes von Salzen wie Natrium, Kalium, Kalzium, Chloride, Phosphate, Bikarbonate und Sulphate. Diese^Funktion ist bei den großen Variationen der täglichen Aufnahme von Wasser und Nahrung von vitaler Wichtigkeit. Außerdem wird auch noch der pH-Wert des Blutes geregelt, indem die durch den Metabolismus erzeugten Säuren ausgeschieden werden. Dazu kommen noch die Ausscheidung der Abfallprodukte des Stickstoff-Stoffwechsels, wie zum Beispiel Harnstoff, Kreatinin und Harnsäure. Alle Materialien, die ausgeschieden werden sollen, sind im Blutplasma gelöst, das sie vom Gewebe abtransportiert. Allerdings enthält das Plasma auch wertvolle Substanzen wie Glukose und Aminosäuren. So muß die Niere neben dem Ausscheidungsprozeß zur gleichen Zeit einen Konservierungsprozeß wichtiger Stoffe vollführen. Die Lösungsstoffe werden über einen Filtrationsprozeß durch die Blutkapillaren abgeschieden, wobei Moleküle mit hohem Molekulargewicht, wie z. B. Proteine, die wegen ihrer Größe die Glomerularmembrane nicht passieren können ·) Verzeichnis der verwendeten Symbole s. S. 178. Brought to you by | University of Queensland - UQ Library Authenticated Download Date | 7/16/15 6:23 AM
und somit, im Blut verbleiben. Die Diffusionsrate der gelösten Stoffe ist wesentlich vergrößert durch den hydrostatischen Druck des Blutes in den Kapillaren, so daß der erste Prozeß in der Niere im wesentlichen eine Ultrafiltration darstellt, was also bedeutet, daß Lösungsstoffe mit niedrigem Molekulargewicht zusammen mit Wasser unter dem Einfluß des Blutdruckes filtriert werden. In diesem Prozeß der Ultrafiltration werden Glukose und Aminosäuren zusammen mit Salzen, Abfallstoffen und Wasser aus dem Blut in die Tubuli gezwungen. In diesen muß dann schließlich die Glukose und Aminosäuren sowie der größte Teil des Wassers wieder ins Blut resorbiert werden, während die unerwünschten Abfallprodukte im Urin aus dem Körper entfernt werden. Somit muß, wie zu ersehen ist, in der Niere eine große Umwälzung von Blut stattfinden, weswegen sie auch überperfundiert wird. Sie wird von 25 °/o des minütlichen Herzschlagvolumens durchblutet, was besagt, daß 1500—1800 Liter Blut pro Tag die Nieren passieren. Von diesem Volumen werden zehn Prozent durch die Glomerularmembranen gefiltert, wobei eine Filtrationsfläche von ungefähr 1,5 m2 zur Verfügung steht. Das in den zwei Millionen Bowmanschen Kapseln gesammelte Ultrafiltrat wird dann durch die insgesamt 100 km lan-
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gen Tubuli geschickt, welche 99 °/o des Wassers und eine Menge lebensnotwendiger Stoffe wieder resorbieren und den perikapillären Blutgefäßen zuführen. In der Niere haben experimentelle Ergebnisse [5] gezeigt, daß der transmurale Druck, der effektive Filtrationsdruck für die Ultrafiltration eine adäquate Größe darstellt, und daß die Glomularmembrane Permeabilitätseigenschaften aufweist, die denen von porösen Wänden stark ähneln [6], Im Falle von Nierenversagen bedient man sich heute der künstlichen Niere, die die Funktion der Niere übernehmen soll. Sie arbeitet ähnlich insofern als sie die unerwünschten Substanzen durch eine permeable Membrane, die nur sehr kleine Moleküle durchläßt, aus dem Blut beseitigt. Dieser Vorgang wird als Dialyse bezeichnet. Das Prinzip der künstlichen Niere ist deshalb verhältnismäßig einfach. Das Blut des Patienten muß auf der einen Seite der Membrane, die dialysierende Flüssigkeit auf der anderen Seite fließen. Einige kleinmolekulare Substanzen werden dann aus dem Blut des Patienten in das Dialysat befördert und von diesem als Abfall wegtransportiert. Blutzellen, Proteine und Aminosäuremoleküle, die zu groß sind, verbleiben im Blut. Die künstliche Niere simuliert nun die verschiedenen Funktionen der Niere, deren Beachtung beim Betrieb von Bedeutung ist, auf folgende Art: 1. Es werden Salze und Abfallprodukte des Metabolismus aus dem Blutstrom in das Dialysat befördert. Das Problem, -das hier auftaucht, ist nicht nur das Wegbefördern von Substanzen, sondern auch das Verhindern des Abtransportes von zu viel Material. Deswegen ist die Dialyseflüssigkeit eine wässrige Lösung von Natriumchlorid, Natriumazetat, Kaliumchlorid, Magnesiumchlorid und Kalziumchlorid mit gleicher Konzentration wie das des Plasma eines normalen Menschen. Somit werden unerwünschte Substanzen beseitigt, während lebensnotwendige im Blut erhalten bleiben. Man mischt der Dialyseflüssigkeit noch etwas Dextrose bei, damit ein relativ hoher osmotischer Druck auf der Außenseite der Membrane entsteht. Gegenüber der wirklichen Niere hat die künstliche Niere nicht das Problem einer Resorption wertvoller Substanzen zurück ins Blut zu vollführen. 2. Der Wasserentzug ist ein anderes Problem. Es kann bei der künstlichen Niere nicht aus dem Blut, da die Dialyseflüssigkeit mehr Wasser enthält als das Blut selbst. Dieses Problem kann durch das teilweise Abklemmen der venösen Seite gelöst werden, wobei eine Erhöhung des Blutdruckes zur besseren Ultrafiltration erreicht wird. Man erkennt aus diesen Angaben, daß die künstliche Niere sich von der Funktion einer wirklichen
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Niere im wesentlichen in zwei Punkten unterscheidet. Diese sind erstens dadurch gekennzeichnet, daß einige Materialien nicht extra resorbiert zu werden brauchen und zweitens, daß der kontinuierliche Fluß des Dialysats außerhalb der Membrane das Material, das durch sie passieren konnte, abtransportiert. Einige medizinische und verfahrenstechnische Aspekte müssen natürlich beim Bau einer künstlichen Niere berücksichtigt werden [2]. Grimsrud und Babb [3] sowie Colton et al. [1] haben dieses Diffusionsproblem zwischen zwei parallelen Platten gelöst, haben jedoch nur PoiseuilleStrömung und keine Filtration über die permeablen Wände berücksichtigt. Popovich et al. [8] betrachten später eine Strömung, die durch konstantes Absaugen über die Wände entstand. Im Fall einer Kiil künstlichen Niere sind zwei Paare Zellulosemembranen in Form einer großen rechteckigen Fläche angeordnet. Blut fließt zwischen den beiden Flächen eines jeden Membranpaares. Auf der anderen Seite der Zellulose kann dann die Dialyseflüssigkeit fließen. Im nachfolgenden soll nun ein zweidimensionaler Spalt (Kanal), in dem Flüssigkeit (Blut) fließen soll, untersucht werden. Der Außenraum soll eine konstante Konzentration c0 aufweisen. Durch den Einfluß des Druckes soll eine Filtration stattfinden. Dabei setzt sich der Druck aus dem hydrostatischen, dem osmotischen und dem Außendruck so zusammen, daß der gesamte Filtrationsdruck Pfilter = (Pstat — ^i) — (p0, stat — ^o)
ist. Die Größe n\ ist der osmotische Druck des Blutes, 0 der osmotische Druck der Dialyseflüssigkeit und PO. stat repräsentiert den hydrostatischen Druck der Dialyseflüssigkeit. Nimmt man P =. Pstat— und p0 = p0, stat — 0, so ist der effektive Filtrationsdruck mit PfSlter — P — Po
bezeichnet. Wir nehmen dabei der Einfachheit halber an, daß der osmotische Druck als konstant betrachtet werden kann, und daß die Konzentration c0 der Dialysatflüssigkeit durch einen äußerst schnellen Abfluß als konstant angesehen werden kann. Die vereinfachte Betrachtung des nichtlinearen osmotischen Druckes als einen konstanten Wert entlang des Dialysators ermöglicht erst, daß das Problem eine lineare Behandlung zuläßt. 2. Grundlegende Gleichungen und Lösungen
In einem Kanal der Breite b fließe in axialer Richtung (x-Richtung) eine inkompressible und viskose Flüssigkeit. Durch die permeablen Wände findet aufgrund des Druckunterschiedes zwischen Innenund Außenraum des Kanals eine Filtration statt (Bild 1). Am Querschnitt = 0 fließe pro Zeiteinheit das konstante Stromvolumen V0 in den Kanal ein. In dem strömenden Medium befinden sich
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dx2 dy2 Die mit dem Index P bezeichneten Größen sind die zur Poiseuille-StrÖmung gehörenden Werte, wobei u0 wegen des angenommenen kleinen Druckgradienten in x-Richtung ebenfalls eine kleine Größe ist. Der Druck pp ist gegeben durch
Bild 1. Geometrie und Anordnung des Plattendialysators
irgendwelche Komponenten, welche einen Diffusionsprozeß herbeiführen, der aufgrund eines Konzentrationsgradienten einen Diffusionsstrom erzeugt. Der Einfachheit halber wird das Verhalten der Konzentration c einer einzigen Komponente betrachtet. Für diese Komponente ergeben sich Konzentrationsänderungen über den Querschnitt des Kanals und über die Lauflänge x. Am Kanaleintritt ^=N 0 ist die Konzentration Ci (y) gegeben. Um die Konzentrationsverteilung im Kanal zu bestimmen, muß zunächst die Geschwindigkeitsverteilung der Strömung bekannt sein. Zu diesem Zwecke wird zunächst das Strömungsproblem, in dem das Blut als Newtonsche Flüssigkeit betrachtet wird, bezüglich Filtration über die Wände des Kanals behandelt. Das Problem wird als axialsymmetrisch betrachtet, so daß beide Kanalwände dieselben Eigenschaften aufweisen und somit eine Symmetrie zur Längsachse des Kanals auftritt. Da es sich um langsame Strömungen handelt, kann man die nichtlinearen Glieder der Navier-Stokesschen Gleichungen vernachlässigen. 2.1 Das Filtration«- und Strömungsproblem Die Gleichungen, die die Strömung einer viskosen Newtonschen Flüssigkeit beschreiben, sind die Navier-Stokeschen Gleichungen, welche mit V = V
p=p
und
bß b2 ' b/2 für kleine Größen u, v und p, in linearisierter Form für stationäre Strömung -3p- =j dx ' in axialer Richtung und
(1) (2)
in Querrichtung zum Kanal lauten. Dabei ist
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wobei pi den Druck am Einlaß = 0 und p2 den Druck bei = l darstellt. •Die Kontinuitätsgleichung lautet für inkompressible Strömung dy
(3)
In diesen Gleichungen sind und y kartesische Koordinaten, wobei in axialer Richtung und y in der dazu senkrechten Richtung von der Achse des Kanals gemessen werden. Die Geschwindigkeitskomponenten in Richtung wachsender und y sind mit u bzw. v bezeichnet. Die Größe ist die dynamische Viskosität und p ist der Druck. Für eine gegebene Permeabilität der Wände soll nun die Geschwindigkeits- und die Druckverteilung sowie die filtrierte Flüssigkeitsmenge pro Zeiteinheit gefunden werden. Durch Einführen der Stromfunktion ( , y), die die Kontinuitätsgleichung (3) identisch erfüllt, d. h. durch u-
(4)
y
und durch Elimination des Druckes aus den NavierStokesschen Gleichungen, ergibt sich die partielle Differentialgleichung für die Stromfunktion zu r 0
(5)
Da es sich im vorliegenden Falle um eine permeable Wand handelt, wird eine Haftbedingung an der Wand kaum gerechtfertigt sein. Es wird also auch Flüssigkeit in der porösen Wand fließen und dort gegenüber dem Kanal immer eine kleinere Strömungsgeschwindigkeit aufweisen. Selbst im Falle eines Gegenstromverfahrens mit schnellerer Dialysatströmung (Bild 1) wird sich aufgrund eines Druckgradienten im permeablen Material eine Strömung ui ergeben. Somit kann man an der Innenwand des Dialysators (Blutseite) die Tangentialkraft der Geschwindigkeitsdifferenz proportional setzen [4]. Ist nun die Geschwindigkeit in der porösen Wand durch « * - - - - QK P gegeben (Darcy-Gesetz), wobei k die Permeabilität darstellt, so kann man die Schubspannung in axialer Richtung der relativen Gleitgeschwindigkeit proportional setzen. *
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Diese Gleichung (5) muß deshalb mit der Randbedingung
--
v-A ~2
(6)
'- f-
(7)
y
By dx *· 3x und der Filtrationsbedingung,
sowie v = 0 und u endlich auf der Kanalachse (y = 0) gelöst werden. Hierbei sind der Gleitreibungskoeffizient und der Permeabilitätskoeffizient. Es sei erwähnt, daß keine allgemeine konstante Größe ist [9]. Experimentelle Ergebnisse haben nämlich gezeigt, daß mit Vergrößerung des Spaltquerschnittes der Wert von beträchtliche Größenänderungen aufweisen kann. Aber, wie auch G.I.Taylor [9] erwähnt, ist eine Definition von für rauhe poröse Flächen durchaus sinnvoll. Man erkennt, daß für = 0 die Nullschubspannungsbedingung und für -* «> die Haftbedingung erhalten wird. Da das statische Druckgefälle sehr gering ist, so kann man im Bereich o ^ ^ l für die Filtrationsbedingung (7) wegen (p2 — pi) < pi die Randbedingung (7')
bei y = h/2
benutzen. Hierbei ist p0 der Außendruck des Kanales. Man erhält durch eine einfache Betrachtung einer Poiseuille-Strömung durch kreisförmige Poren der Wand, welche eine Dicke d aufweist. Ist Rp der Porenradius, so ist mit N Poren pro Längeneinheit des Kanals (bei der Einheitsweite) die Ausflußgeschwindigkeit an der Wand:
(x,y) =f e[y cosfr -L) -&*
p(x.y) Mit der Randbedingung (7) erhält man schließlich die Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte tan u [l-u tan u -
f
woraus sich
Jid
3~ ergibt.
Die Lösung der Gl. (5) ergibt mit der Randbedingung (6) wegen der Axialsymmetrie des Problems mit /- » tan »-
u (x,y)
[ +tan
3Vo
lb
]
(R ;+
y w I/f
&U
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(8)
(11)
Diese hat für die in der Praxis vorkommenden Werte von 4 £- nur eine reelle Wurzel 0 und unendlich viele komplexe Wurzeln (n = l, 2, . . .). Da die Realteile dieser Wurzeln im Vergleich zu * groß sind, kann man sich für x-Werte, die nicht unmittelbar in der Nähe des Einlasses = 0 liegen, mit einer Eingliedlösung begnügen. Es ist somit (12y
Wählt man für den Druck am Eingang zum Kanal in der Ebene = 0 den konstanten Wert pi, so ergibt sich für ihn der Ausdruck P-A-
oder
p ~
(13)
wobei der Druck für -*· °° mit p0 bezeichnet wurde, d. h. den Wert des Außendruckes annimmt. Die Geschwindigkeitsverteilung ist somit
—
8r\d A wird. Hierbei ist AP/A die Fläche der Poren pro Flächeneinheit. Die andere Möglichkeit zur Bestimmung von aus dem Darcy-Gesetz ist gegeben durch
(9)
wobei Bn noch" beliebige Integrationskonstanten sind. Führt man dieses Ergebnis in die NavierStokesschen Gleichungen ein, so erhält man nach Integration den Druck im Kanal zu
so daß der Permeabilitätskoeffizient
v=
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Stofftransport im Plattendialysator
y
cos
(14)
und
-0 sn
(15)
Aus Gl. (11) erhält man für kleine Werte kr auch kleine Werte 0 ^ l, so daß man für die reelle Wurzel 0 angenähert den Wert
(16) erhält. Damit erhält manfür ~^ « l in axialer Richtung die Geschwindigkeitsverteilung (Bild 2) 8k bft
(17)
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(x,y) =_ 3a(p,-pJ bß
bß
2
(18)
3 (b/2
gruflere Perm.
0 OJ5 1fl Bild 2. Störahteil der Axialgeschwindigkeitsvertellung u
BildS. Quergeschwindigkeitsverteilung v
und in der Richtung senkrecht zur Kanalachse die Geschwindigkeitsverteilung (Bild 3) Aus den Ergebnissen ist zu erkennen, daß alle Größen exponentiell . in axialer Richtung abnehmen. Die axiale Geschwindigkeit hat in der hier angegebenen Näherung parabolische Form, während die Quergeschwindigkeit von kubischer Form
jst. Das über die Wände pro Zeiteinheit und Länge l filtrierte Volumen V* erhält man aus · » ( \v* fr h V =2^v(x,f)dx oder V ~ 2 J [ ° ° Es wird mit Gl. (17) ungefähr
dx
(19)
und zeigt, daß es proportional der Druckdifferenz (Pi — Po) ist, sich bei Verdoppelung des Permeabilitätskoeffizienten um das doppelte erhöht und (mit aus dem Vorhergehenden) sich umgekehrt proportional der dynamischen Viskosität ändert. Außerdem wird bei Verdoppelung der Membrandicko nur die Hälfte filtriert. Das filtrierte Volumen ist im Falle kreisförmiger Poren proportional der 4. Potenz des Porenradius und der Porenanzahl. 2.2 Randbedingung für den durch die Membrane
Stoffiransport
Oialysat
Bild 4. Membranwand
die Stofftransportgleichung durch die Membrane
Zur Ableitung der Randbedingung an der Membrane betrachten wir den Stofftransport durch die Membrane der Dicke d (Bild 4). Da der Stofftransport in axialer Richtung in der Membrane gegenüber dem in y-Richtung vernachlässigbar klein ist, lautet für kleine Werte
permeabte Membrane
(d.h. e'^ot^ 7 J
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=0
welche mit den Randbedingungen C = c bei y = 0 C = CQ bei y = d gelöst werden muß. Die Lösung lautet:
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|e
D*
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Im einfachsten Dialyseverfahren, bei dem keine Filtration über die Membranwand stattfindet, sondern nur eine Konzentrationsänderung aufgrund eines Konzentrationsgradienten über die Membrane stattfindet, ergibt sich zur Bestimmung der örtlichen Konzentration die Differentialgleichung
ij
Der Fluß in der Membrane beträgt
(21)
Es ist somit bei y = 0 (d. h. y = -£/im) _ t / _ *(P>-Po)(Co-C) ~~ * **r ^ ^»o *ipt=peid. ]
J~
\e
^
- \\
=B
. *
7
Es ist somit mit u = uo
~ de .A -y /·* fy+vc
·· / u / "^"
u
so daß die Randbedingung für den Stoffübergang an der Membrane mit Ot(p*,-Po)
3y
(20)
y=b/2
Kc -
o = - ^·
(1- ——-)
und
— als der Maximalgeschwindigkeit (auf
der Achse y = 0) und bei Vernachlässigung des molekularen Stoffaustausches in axialer Richtung gegenüber dem konvektiven Stofftransport die Gleichung
= -
(22)
wird. Für kleine Werte im Exponenten erhält man 2c
Dm
mit der Randbedingung
Dm
= l 2.3 Das
Dijfusionsproblem
Da im vorliegenden Problem das betrachtete Medium in Bewegung ist, muß neben der Konzentrationsänderung infolge molekularer Diffusion auch diejenige durch Konvektion berücksichtigt werden.
(23)
und der Anfangsbedingung c (0, y) = Cj = const bei = 0 (24) zu lösen. Hierbei ist c0 die als konstant betrachtete Konzentration der Dialysatflüssigkeit. Die Lösung der Differentialgleichung ist gegeben durch den Ausdruck
(25) wobei Bn Integrationskonstanten sind, die aus der Anfangsbedingungen mit Hilfe der Orthogonalitätsbedingungen gewonnen werden. Es ist
o„ b(Ci-C.) Dd ßn 3c; +
(26)
2Dd dß,
mit Die Eigenwerte
erhält man aus:
(27) Hierbei stellt iFi die konfluente hypergeometrische
T, , ,.
Funktion
sr/ __ ^ ifa_
Multipliziert man diese auf beiden Seiten mit und integriert von Null bis Eins, so ergibt sich für die Integrationskonstanten
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1. Einleitung
Die wichtigste Funktion der Niere [5, 7,10] ist die Regulierung des Wasserhaushalts im Körper und die Erhaltung des Gleichgewichtes von Salzen wie Natrium, Kalium, Kalzium, Chloride, Phosphate, Bikarbonate und Sulphate. Diese^Funktion ist bei den großen Variationen der täglichen Aufnahme von Wasser und Nahrung von vitaler Wichtigkeit. Außerdem wird auch noch der pH-Wert des Blutes geregelt, indem die durch den Metabolismus erzeugten Säuren ausgeschieden werden. Dazu kommen noch die Ausscheidung der Abfallprodukte des Stickstoff-Stoffwechsels, wie zum Beispiel Harnstoff, Kreatinin und Harnsäure. Alle Materialien, die ausgeschieden werden sollen, sind im Blutplasma gelöst, das sie vom Gewebe abtransportiert. Allerdings enthält das Plasma auch wertvolle Substanzen wie Glukose und Aminosäuren. So muß die Niere neben dem Ausscheidungsprozeß zur gleichen Zeit einen Konservierungsprozeß wichtiger Stoffe vollführen. Die Lösungsstoffe werden über einen Filtrationsprozeß durch die Blutkapillaren abgeschieden, wobei Moleküle mit hohem Molekulargewicht, wie z. B. Proteine, die wegen ihrer Größe die Glomerularmembrane nicht passieren können ·) Verzeichnis der verwendeten Symbole s. S. 178. Brought to you by | University of Queensland - UQ Library Authenticated Download Date | 7/16/15 6:23 AM
und somit, im Blut verbleiben. Die Diffusionsrate der gelösten Stoffe ist wesentlich vergrößert durch den hydrostatischen Druck des Blutes in den Kapillaren, so daß der erste Prozeß in der Niere im wesentlichen eine Ultrafiltration darstellt, was also bedeutet, daß Lösungsstoffe mit niedrigem Molekulargewicht zusammen mit Wasser unter dem Einfluß des Blutdruckes filtriert werden. In diesem Prozeß der Ultrafiltration werden Glukose und Aminosäuren zusammen mit Salzen, Abfallstoffen und Wasser aus dem Blut in die Tubuli gezwungen. In diesen muß dann schließlich die Glukose und Aminosäuren sowie der größte Teil des Wassers wieder ins Blut resorbiert werden, während die unerwünschten Abfallprodukte im Urin aus dem Körper entfernt werden. Somit muß, wie zu ersehen ist, in der Niere eine große Umwälzung von Blut stattfinden, weswegen sie auch überperfundiert wird. Sie wird von 25 °/o des minütlichen Herzschlagvolumens durchblutet, was besagt, daß 1500—1800 Liter Blut pro Tag die Nieren passieren. Von diesem Volumen werden zehn Prozent durch die Glomerularmembranen gefiltert, wobei eine Filtrationsfläche von ungefähr 1,5 m2 zur Verfügung steht. Das in den zwei Millionen Bowmanschen Kapseln gesammelte Ultrafiltrat wird dann durch die insgesamt 100 km lan-
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gen Tubuli geschickt, welche 99 °/o des Wassers und eine Menge lebensnotwendiger Stoffe wieder resorbieren und den perikapillären Blutgefäßen zuführen. In der Niere haben experimentelle Ergebnisse [5] gezeigt, daß der transmurale Druck, der effektive Filtrationsdruck für die Ultrafiltration eine adäquate Größe darstellt, und daß die Glomularmembrane Permeabilitätseigenschaften aufweist, die denen von porösen Wänden stark ähneln [6], Im Falle von Nierenversagen bedient man sich heute der künstlichen Niere, die die Funktion der Niere übernehmen soll. Sie arbeitet ähnlich insofern als sie die unerwünschten Substanzen durch eine permeable Membrane, die nur sehr kleine Moleküle durchläßt, aus dem Blut beseitigt. Dieser Vorgang wird als Dialyse bezeichnet. Das Prinzip der künstlichen Niere ist deshalb verhältnismäßig einfach. Das Blut des Patienten muß auf der einen Seite der Membrane, die dialysierende Flüssigkeit auf der anderen Seite fließen. Einige kleinmolekulare Substanzen werden dann aus dem Blut des Patienten in das Dialysat befördert und von diesem als Abfall wegtransportiert. Blutzellen, Proteine und Aminosäuremoleküle, die zu groß sind, verbleiben im Blut. Die künstliche Niere simuliert nun die verschiedenen Funktionen der Niere, deren Beachtung beim Betrieb von Bedeutung ist, auf folgende Art: 1. Es werden Salze und Abfallprodukte des Metabolismus aus dem Blutstrom in das Dialysat befördert. Das Problem, -das hier auftaucht, ist nicht nur das Wegbefördern von Substanzen, sondern auch das Verhindern des Abtransportes von zu viel Material. Deswegen ist die Dialyseflüssigkeit eine wässrige Lösung von Natriumchlorid, Natriumazetat, Kaliumchlorid, Magnesiumchlorid und Kalziumchlorid mit gleicher Konzentration wie das des Plasma eines normalen Menschen. Somit werden unerwünschte Substanzen beseitigt, während lebensnotwendige im Blut erhalten bleiben. Man mischt der Dialyseflüssigkeit noch etwas Dextrose bei, damit ein relativ hoher osmotischer Druck auf der Außenseite der Membrane entsteht. Gegenüber der wirklichen Niere hat die künstliche Niere nicht das Problem einer Resorption wertvoller Substanzen zurück ins Blut zu vollführen. 2. Der Wasserentzug ist ein anderes Problem. Es kann bei der künstlichen Niere nicht aus dem Blut, da die Dialyseflüssigkeit mehr Wasser enthält als das Blut selbst. Dieses Problem kann durch das teilweise Abklemmen der venösen Seite gelöst werden, wobei eine Erhöhung des Blutdruckes zur besseren Ultrafiltration erreicht wird. Man erkennt aus diesen Angaben, daß die künstliche Niere sich von der Funktion einer wirklichen
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Niere im wesentlichen in zwei Punkten unterscheidet. Diese sind erstens dadurch gekennzeichnet, daß einige Materialien nicht extra resorbiert zu werden brauchen und zweitens, daß der kontinuierliche Fluß des Dialysats außerhalb der Membrane das Material, das durch sie passieren konnte, abtransportiert. Einige medizinische und verfahrenstechnische Aspekte müssen natürlich beim Bau einer künstlichen Niere berücksichtigt werden [2]. Grimsrud und Babb [3] sowie Colton et al. [1] haben dieses Diffusionsproblem zwischen zwei parallelen Platten gelöst, haben jedoch nur PoiseuilleStrömung und keine Filtration über die permeablen Wände berücksichtigt. Popovich et al. [8] betrachten später eine Strömung, die durch konstantes Absaugen über die Wände entstand. Im Fall einer Kiil künstlichen Niere sind zwei Paare Zellulosemembranen in Form einer großen rechteckigen Fläche angeordnet. Blut fließt zwischen den beiden Flächen eines jeden Membranpaares. Auf der anderen Seite der Zellulose kann dann die Dialyseflüssigkeit fließen. Im nachfolgenden soll nun ein zweidimensionaler Spalt (Kanal), in dem Flüssigkeit (Blut) fließen soll, untersucht werden. Der Außenraum soll eine konstante Konzentration c0 aufweisen. Durch den Einfluß des Druckes soll eine Filtration stattfinden. Dabei setzt sich der Druck aus dem hydrostatischen, dem osmotischen und dem Außendruck so zusammen, daß der gesamte Filtrationsdruck Pfilter = (Pstat — ^i) — (p0, stat — ^o)
ist. Die Größe n\ ist der osmotische Druck des Blutes, 0 der osmotische Druck der Dialyseflüssigkeit und PO. stat repräsentiert den hydrostatischen Druck der Dialyseflüssigkeit. Nimmt man P =. Pstat— und p0 = p0, stat — 0, so ist der effektive Filtrationsdruck mit PfSlter — P — Po
bezeichnet. Wir nehmen dabei der Einfachheit halber an, daß der osmotische Druck als konstant betrachtet werden kann, und daß die Konzentration c0 der Dialysatflüssigkeit durch einen äußerst schnellen Abfluß als konstant angesehen werden kann. Die vereinfachte Betrachtung des nichtlinearen osmotischen Druckes als einen konstanten Wert entlang des Dialysators ermöglicht erst, daß das Problem eine lineare Behandlung zuläßt. 2. Grundlegende Gleichungen und Lösungen
In einem Kanal der Breite b fließe in axialer Richtung (x-Richtung) eine inkompressible und viskose Flüssigkeit. Durch die permeablen Wände findet aufgrund des Druckunterschiedes zwischen Innenund Außenraum des Kanals eine Filtration statt (Bild 1). Am Querschnitt = 0 fließe pro Zeiteinheit das konstante Stromvolumen V0 in den Kanal ein. In dem strömenden Medium befinden sich
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dx2 dy2 Die mit dem Index P bezeichneten Größen sind die zur Poiseuille-StrÖmung gehörenden Werte, wobei u0 wegen des angenommenen kleinen Druckgradienten in x-Richtung ebenfalls eine kleine Größe ist. Der Druck pp ist gegeben durch
Bild 1. Geometrie und Anordnung des Plattendialysators
irgendwelche Komponenten, welche einen Diffusionsprozeß herbeiführen, der aufgrund eines Konzentrationsgradienten einen Diffusionsstrom erzeugt. Der Einfachheit halber wird das Verhalten der Konzentration c einer einzigen Komponente betrachtet. Für diese Komponente ergeben sich Konzentrationsänderungen über den Querschnitt des Kanals und über die Lauflänge x. Am Kanaleintritt ^=N 0 ist die Konzentration Ci (y) gegeben. Um die Konzentrationsverteilung im Kanal zu bestimmen, muß zunächst die Geschwindigkeitsverteilung der Strömung bekannt sein. Zu diesem Zwecke wird zunächst das Strömungsproblem, in dem das Blut als Newtonsche Flüssigkeit betrachtet wird, bezüglich Filtration über die Wände des Kanals behandelt. Das Problem wird als axialsymmetrisch betrachtet, so daß beide Kanalwände dieselben Eigenschaften aufweisen und somit eine Symmetrie zur Längsachse des Kanals auftritt. Da es sich um langsame Strömungen handelt, kann man die nichtlinearen Glieder der Navier-Stokesschen Gleichungen vernachlässigen. 2.1 Das Filtration«- und Strömungsproblem Die Gleichungen, die die Strömung einer viskosen Newtonschen Flüssigkeit beschreiben, sind die Navier-Stokeschen Gleichungen, welche mit V = V
p=p
und
bß b2 ' b/2 für kleine Größen u, v und p, in linearisierter Form für stationäre Strömung -3p- =j dx ' in axialer Richtung und
(1) (2)
in Querrichtung zum Kanal lauten. Dabei ist
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wobei pi den Druck am Einlaß = 0 und p2 den Druck bei = l darstellt. •Die Kontinuitätsgleichung lautet für inkompressible Strömung dy
(3)
In diesen Gleichungen sind und y kartesische Koordinaten, wobei in axialer Richtung und y in der dazu senkrechten Richtung von der Achse des Kanals gemessen werden. Die Geschwindigkeitskomponenten in Richtung wachsender und y sind mit u bzw. v bezeichnet. Die Größe ist die dynamische Viskosität und p ist der Druck. Für eine gegebene Permeabilität der Wände soll nun die Geschwindigkeits- und die Druckverteilung sowie die filtrierte Flüssigkeitsmenge pro Zeiteinheit gefunden werden. Durch Einführen der Stromfunktion ( , y), die die Kontinuitätsgleichung (3) identisch erfüllt, d. h. durch u-
(4)
y
und durch Elimination des Druckes aus den NavierStokesschen Gleichungen, ergibt sich die partielle Differentialgleichung für die Stromfunktion zu r 0
(5)
Da es sich im vorliegenden Falle um eine permeable Wand handelt, wird eine Haftbedingung an der Wand kaum gerechtfertigt sein. Es wird also auch Flüssigkeit in der porösen Wand fließen und dort gegenüber dem Kanal immer eine kleinere Strömungsgeschwindigkeit aufweisen. Selbst im Falle eines Gegenstromverfahrens mit schnellerer Dialysatströmung (Bild 1) wird sich aufgrund eines Druckgradienten im permeablen Material eine Strömung ui ergeben. Somit kann man an der Innenwand des Dialysators (Blutseite) die Tangentialkraft der Geschwindigkeitsdifferenz proportional setzen [4]. Ist nun die Geschwindigkeit in der porösen Wand durch « * - - - - QK P gegeben (Darcy-Gesetz), wobei k die Permeabilität darstellt, so kann man die Schubspannung in axialer Richtung der relativen Gleitgeschwindigkeit proportional setzen. *
Biomedizinische Technik Band 21 Heft 6/1976
Diese Gleichung (5) muß deshalb mit der Randbedingung
--
v-A ~2
(6)
'- f-
(7)
y
By dx *· 3x und der Filtrationsbedingung,
sowie v = 0 und u endlich auf der Kanalachse (y = 0) gelöst werden. Hierbei sind der Gleitreibungskoeffizient und der Permeabilitätskoeffizient. Es sei erwähnt, daß keine allgemeine konstante Größe ist [9]. Experimentelle Ergebnisse haben nämlich gezeigt, daß mit Vergrößerung des Spaltquerschnittes der Wert von beträchtliche Größenänderungen aufweisen kann. Aber, wie auch G.I.Taylor [9] erwähnt, ist eine Definition von für rauhe poröse Flächen durchaus sinnvoll. Man erkennt, daß für = 0 die Nullschubspannungsbedingung und für -* «> die Haftbedingung erhalten wird. Da das statische Druckgefälle sehr gering ist, so kann man im Bereich o ^ ^ l für die Filtrationsbedingung (7) wegen (p2 — pi) < pi die Randbedingung (7')
bei y = h/2
benutzen. Hierbei ist p0 der Außendruck des Kanales. Man erhält durch eine einfache Betrachtung einer Poiseuille-Strömung durch kreisförmige Poren der Wand, welche eine Dicke d aufweist. Ist Rp der Porenradius, so ist mit N Poren pro Längeneinheit des Kanals (bei der Einheitsweite) die Ausflußgeschwindigkeit an der Wand:
(x,y) =f e[y cosfr -L) -&*
p(x.y) Mit der Randbedingung (7) erhält man schließlich die Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte tan u [l-u tan u -
f
woraus sich
Jid
3~ ergibt.
Die Lösung der Gl. (5) ergibt mit der Randbedingung (6) wegen der Axialsymmetrie des Problems mit /- » tan »-
u (x,y)
[ +tan
3Vo
lb
]
(R ;+
y w I/f
&U
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(8)
(11)
Diese hat für die in der Praxis vorkommenden Werte von 4 £- nur eine reelle Wurzel 0 und unendlich viele komplexe Wurzeln (n = l, 2, . . .). Da die Realteile dieser Wurzeln im Vergleich zu * groß sind, kann man sich für x-Werte, die nicht unmittelbar in der Nähe des Einlasses = 0 liegen, mit einer Eingliedlösung begnügen. Es ist somit (12y
Wählt man für den Druck am Eingang zum Kanal in der Ebene = 0 den konstanten Wert pi, so ergibt sich für ihn der Ausdruck P-A-
oder
p ~
(13)
wobei der Druck für -*· °° mit p0 bezeichnet wurde, d. h. den Wert des Außendruckes annimmt. Die Geschwindigkeitsverteilung ist somit
—
8r\d A wird. Hierbei ist AP/A die Fläche der Poren pro Flächeneinheit. Die andere Möglichkeit zur Bestimmung von aus dem Darcy-Gesetz ist gegeben durch
(9)
wobei Bn noch" beliebige Integrationskonstanten sind. Führt man dieses Ergebnis in die NavierStokesschen Gleichungen ein, so erhält man nach Integration den Druck im Kanal zu
so daß der Permeabilitätskoeffizient
v=
173
Stofftransport im Plattendialysator
y
cos
(14)
und
-0 sn
(15)
Aus Gl. (11) erhält man für kleine Werte kr auch kleine Werte 0 ^ l, so daß man für die reelle Wurzel 0 angenähert den Wert
(16) erhält. Damit erhält manfür ~^ « l in axialer Richtung die Geschwindigkeitsverteilung (Bild 2) 8k bft
(17)
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Stofftransport im Plattendialysator
174
(x,y) =_ 3a(p,-pJ bß
bß
2
(18)
3 (b/2
gruflere Perm.
0 OJ5 1fl Bild 2. Störahteil der Axialgeschwindigkeitsvertellung u
BildS. Quergeschwindigkeitsverteilung v
und in der Richtung senkrecht zur Kanalachse die Geschwindigkeitsverteilung (Bild 3) Aus den Ergebnissen ist zu erkennen, daß alle Größen exponentiell . in axialer Richtung abnehmen. Die axiale Geschwindigkeit hat in der hier angegebenen Näherung parabolische Form, während die Quergeschwindigkeit von kubischer Form
jst. Das über die Wände pro Zeiteinheit und Länge l filtrierte Volumen V* erhält man aus · » ( \v* fr h V =2^v(x,f)dx oder V ~ 2 J [ ° ° Es wird mit Gl. (17) ungefähr
dx
(19)
und zeigt, daß es proportional der Druckdifferenz (Pi — Po) ist, sich bei Verdoppelung des Permeabilitätskoeffizienten um das doppelte erhöht und (mit aus dem Vorhergehenden) sich umgekehrt proportional der dynamischen Viskosität ändert. Außerdem wird bei Verdoppelung der Membrandicko nur die Hälfte filtriert. Das filtrierte Volumen ist im Falle kreisförmiger Poren proportional der 4. Potenz des Porenradius und der Porenanzahl. 2.2 Randbedingung für den durch die Membrane
Stoffiransport
Oialysat
Bild 4. Membranwand
die Stofftransportgleichung durch die Membrane
Zur Ableitung der Randbedingung an der Membrane betrachten wir den Stofftransport durch die Membrane der Dicke d (Bild 4). Da der Stofftransport in axialer Richtung in der Membrane gegenüber dem in y-Richtung vernachlässigbar klein ist, lautet für kleine Werte
permeabte Membrane
(d.h. e'^ot^ 7 J
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=0
welche mit den Randbedingungen C = c bei y = 0 C = CQ bei y = d gelöst werden muß. Die Lösung lautet:
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Stofftransport im Plattendialysator
|e
D*
175
Im einfachsten Dialyseverfahren, bei dem keine Filtration über die Membranwand stattfindet, sondern nur eine Konzentrationsänderung aufgrund eines Konzentrationsgradienten über die Membrane stattfindet, ergibt sich zur Bestimmung der örtlichen Konzentration die Differentialgleichung
ij
Der Fluß in der Membrane beträgt
(21)
Es ist somit bei y = 0 (d. h. y = -£/im) _ t / _ *(P>-Po)(Co-C) ~~ * **r ^ ^»o *ipt=peid. ]
J~
\e
^
- \\
=B
. *
7
Es ist somit mit u = uo
~ de .A -y /·* fy+vc
·· / u / "^"
u
so daß die Randbedingung für den Stoffübergang an der Membrane mit Ot(p*,-Po)
3y
(20)
y=b/2
Kc -
o = - ^·
(1- ——-)
und
— als der Maximalgeschwindigkeit (auf
der Achse y = 0) und bei Vernachlässigung des molekularen Stoffaustausches in axialer Richtung gegenüber dem konvektiven Stofftransport die Gleichung
= -
(22)
wird. Für kleine Werte im Exponenten erhält man 2c
Dm
mit der Randbedingung
Dm
= l 2.3 Das
Dijfusionsproblem
Da im vorliegenden Problem das betrachtete Medium in Bewegung ist, muß neben der Konzentrationsänderung infolge molekularer Diffusion auch diejenige durch Konvektion berücksichtigt werden.
(23)
und der Anfangsbedingung c (0, y) = Cj = const bei = 0 (24) zu lösen. Hierbei ist c0 die als konstant betrachtete Konzentration der Dialysatflüssigkeit. Die Lösung der Differentialgleichung ist gegeben durch den Ausdruck
(25) wobei Bn Integrationskonstanten sind, die aus der Anfangsbedingungen mit Hilfe der Orthogonalitätsbedingungen gewonnen werden. Es ist
o„ b(Ci-C.) Dd ßn 3c; +
(26)
2Dd dß,
mit Die Eigenwerte
erhält man aus:
(27) Hierbei stellt iFi die konfluente hypergeometrische
T, , ,.
Funktion
sr/ __ ^ ifa_
Multipliziert man diese auf beiden Seiten mit und integriert von Null bis Eins, so ergibt sich für die Integrationskonstanten
