Maximalbelastung der Hüfte
290
Biomedizinische Technik Band 23 Heft 12/78
Blomed. Techn. 23 (1978), 290—294
D. Gebauer H. örley
Analytische Bestimmung der maximalen Gelenkkraft in der Hüfte anhand eines biomechanischen Modells Analytical Determination of the Maximum Hip Joint Force by Means of a Biomechanical Model Aus dem Institut für Experimentelle Chirurgie der Technischen Universität München (Dir.: Prof. Dr. G. Blümel) Die Maximalbelastung der Hüfte stellt für viele orthopädische Probleme des Hüftgelenks eine wesentliche Größe dar. Besonders beim Gehen wurde diese Größe bisher gemessen, bzw. geschätzt und als relevanter Wert für die Hüftendoprothetik angenommen. Da aber beim Bewegungsablauf auch mit andersartigen, größeren Belastungen zu rechnen ist, erschien es sinnvoll, ein biomechanisches Modell zur Beurteilung solcher Situationen heranzuziehen. Mit ihm wurden die Maximalkräfte ermittelt, die beim Fall aus einer gewissen Höhe auf das gestreckte Bein z. B. am Straßenrandstein auftreten. Die gewonnenen Ergebnisse liegen zumindest um einen Faktor 1,5—4 höher als die aus der Literatur bekannten Werte beim Gehen. Daher sollten solche relativ seltenen Bewegungssituationen bei der biomechanischen Analyse der Hüftbelastung und eventuellen Dimensionierung von Hüftendoprothesen nicht außer Acht gelassen werden. The maximum hip load is a determining value in many orthopedic Problems. This Parameter has so far been measured or estimated mainly for regulär locomotion activities äs a relevant value for hip prosthetics. As there are many other types of activities in which different and increased loads are acting it seemed to be suitable to develop a biomechanical model for assessment of these situations. By means of this model the maximum forces acting on the extended leg when dropping from a certain hight i.e. from the curbstone were calculated. The results of this procedure are at least, 1,5 to 4 times higher than that ones known from literature. These relatively seldom activities should therefore not be neglected in the biomechnical analysis of hip joint forces äs well äs in the design of artificial hip joints.
l Einleitung Beim Gehen tritt die größte Beanspruchung im Hüftgelenk während der Standbeinphase auf. Nach Pauwels [5] lassen sich die Maximalbelastungen durch Berechnung der in die Frontalebene projizierten Kräfte erhalten. Von dieser Grundlage ausgehend wurde von einigen Autoren diese Belastung des Hüftgelenkes, d. h. die auf das Gelenk wirkende, resultierende Kraft abgeschätzt. Bekanntlich läßt sich diese Resultierende aus dem Momentengleichgewicht um den Gelenkmittelpunkt bedingt durch das Körpergewicht und die Muskelkräfte errechnen. Pauwels [6] kam so zu dem Ergebnis, daß die maximale Druckkraft etwa dem vierfachen Wert des Körpergewichts entspricht. Paul [4] ermittelte Kräfte vom 4,9fachen des Körpergewichtes beim normalen Gehen und vom 7,6fachen beim schnellen Gehen. Rydell [7] stellte durch'Implantation einer Kopfprothese mit Kraftmeßaufnehmern bei der Hüftbelastung Maximalwerte vom 3—4fachen beim Gehen und 4,3fachen beim Laufen fest. Ungethüm [8] schlägt zur Berechnung der maximalen Kräfte eine explizite Gleichung vor. Die beschriebene Maximalkraft im Hüftgelenk spielt auch bei den im letzten Jahrzehnt so zahlBrought to you by | University of Arizona Authenticated Download Date | 5/31/15 12:01 AM
reich durchgeführten Implantationen von Totalhüftendoprothesen eine wesentliche Rolle. Sie tritt als periodischer Wert bei jedem Gangzyklus als Belastung des künstlichen Gelenkes auf. Hinsichtlich der allgemeinen Dimensionierung von Prothesen scheint es sinnvoll, solche Kräfte anhand eines biomechanischen Modells der unteren Extremität unter Berücksichtigung der Feder- und Dämpfungseigenschaften des Beines theoretisch zu ermitteln. Es soll in dieser Arbeit die maximale Kraft anhand eines einfachen Modells im Vergleich mit den beim Gehen gemessenen und geschätzten Werten ermittelt werden. 2 Beschreibung des biomechanischen Modells
Die untere Extremität läßt sich als Gliederkette mit einzelnen Gelenken auffassen, wie sie in Bild l dargestellt ist. Ein biomechanisches Ersatzmodell der unteren Extremität verlangt die Berücksichtigung sowohl der Federungs- als auch der Dämpfungseigenschaften des Beines. Bei exakter Simulation müßten für jedes Glied die jeweiligen Materialeigenschaften bekannt sein. Diese Werte sind aber zur Zeit nicht"in ausreichendem Maß ermittelt, so daß es sinnvoll erscheint, b^i
Biomedizinische Technik Band 23 Heft 12/78
Maximalbelastung der Hüfte
der Simulation das gesamte Bein primär durch ein Element zu ersetzen. Als physiologisches Korrelat eines solchen Gliedes könnte das im Kniegelenk gestreckte Bein gelten, dessen Stoßbelastung ohnehin die problematische Belastung des Hüftgelenkes bedeutet.
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gigkeit von der Zeit, deren zweimaliges Differen•· zieren die Gleichung für die Beschleunigung der Masse m ergibt. Durch Ermittlung des absoluten •· Maximums von kann die maximal im Ersatzmodell auftretende Hüftgelenkskraft errechnet werden: •·
Fmax = m ' | X m ax |
KÖRPER
Ungethüm gibt eine Gleichung für die beim Schwingungsvorgang auftretende maximale Kraft an, ohne ihre Herleitung von der gleichermaßen verwendeten Differentialgleichung zu erläutern:
OBERSCHENKEL
I? max —
2m · vo · c l/k + 4m· c - k 2
Damit zeigt er eine Abhängigkeit der Maximalkraft von der Federkonstanten c, Dämpfungskonstanten k und Anfangsgeschwindigkeit VQ.
FUSS MIT SCHUH
Bild 1. Schema der Gliederkette der unteren Extremität
Als vereinfachtes Ersatzsystem empfiehlt sich der schon von Ungethüm [8] verwendete Ein-MassenSchwinger mit Feder und Dämpfer, der in allgemeiner Form in Bild 2 gezeigt ist.
rn-x
\ Bild 2. Ein Massenschwinger mit Feder und Dämpfer. Darin bedeuten: m = Masse des Körpers ohne Standbein (kg) l c — Federkonstante (N/m) / k = Dämpfungskonstante (Ns/m) / = Weg (m) / H = Hüftgelenk / h = Fallhöhe (m)
Um die Wirkung von Stoßkräften auf das Hüftgelenk analytisch zu ermitteln, wurde die obige Differentialgleichung (1) gelöst und die Maximalkraft in Abhängigkeit von verschiedenen Parametern, auch vergleichend mit dem Ergebnis von Ungethüm, errechnet. Hinter der speziellen Modellannahme des auf einen nicht schwingenden Boden auftreffenden Ersatzsystems steht die Vorstellung eines Sturzes aus einer gewissen Höhe (z.B. Straßenrandstein) auf das gestreckte Bein. Nach dem Durchfallen einer Höhe h nimmt der Körper die Geschwindigkeit vo = l/2gh an und wird beim Auftreffen auf einen sehr harten Boden (Beton) auf die Geschwindigkeit 0 abgebremst. Aufgrund der Feder- und Dämpfungseigenschaften des Beins führt das Bein eine Schwingung aus, die bei der Simulation erfaßt werden soll. 3 Mathematische Beschreibung des Ein-Massen-Schwingers
Unter den in Kapitel 2 aufgeführten Vereinfachungen kann man für das vorliegende Problem das mechanische Ersatzsystem entsprechend Bild 3 annehmen:
Die Differentialgleichung für die Bewegung eines solchen Schwingers lautet: wobei
(3)
Mit VQ = Anfangsgeschwindigkeit, alle anderen Symbole wie in Bild 2.
UNTERSCHENKEL
m
(2)
Körpermasse ( m )
(1)
d2x
dx
(Herleitung der Formel siehe Kap. 3). Durch Lösung dieser Differentialgleichung erhält r'an eine Funktion des Weges = (t) in AbhänBrought to you by | University of Arizona Authenticated Download Date | 5/31/15 12:01 AM
Dämpfung ( k )
Feder ( c )
N N
VN
Bild 3. Mechanisches Ersatzsystem für den Fall eines Ein-Massen-Schwingers
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Die Bewegung der Masse m (und damit auch die Kraft auf die Masse) läßt sich durch Differentialgleichungen beschreiben. Das Aufstellen der Gleichungen kann über das Verfahren von NewtonEuler erfolgen. Dazu werden Feder und Dämpfer durch die Kräfte ersetzt, die sie auf die Masse ausüben; sie werden damit zu äußeren Kräften. Ebenso wird das am Körper angreifende Gewicht der Masse m als äußere Kraft aufgefaßt und eine Koordinate (t) festgelegt, die die vertikale Verschiebung aus der Gleichgewichtslage XG beschreibt (siehe Bild 4).
x(t)
> l : x =e- *at [A · cosh ( ) + B · sinh wobei = l/l — 2
Die in diesen Gleichungen auftretenden Konstanten A, B werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt: (12) x (t = 0) = xo : x (t = 0) = xo = vo Dabei ist xo die Auslenkung des Schwingers aus der Gleichgewichtslage zu dem Zeitpunkt, zu dem das gestreckte, entlastete Bein am Boden auftrifft. Nach der erwähnten zweimaligen Differenzierung von x (•t) läßt sich die gesamte Kraft (= Summe aus Federund Dämpfungskraft), die im Hüftgelenk übertragen wird, bestimmen:
m ·x =
Gleichgewichts lage K
F
K
x/*»
D
Nach der Newton-Euler'schen Methode gilt, daß die Beschleunigung der Masse m proportional der Summe der auf sie einwirkenden äußeren Kräfte F a ist[3]:
(6)
Ersetzt man den Summenausdruck der Gleichung durch die am Körper angreifenden Kräfte und berücksichtigt, daß XG = constant ist, so erhält man
m · = KF + K D - G
(7)
Nimmt man lineare Feder- und Dämpferkennlinien und eine geschwindigkeitsproportionale Dämpfung an, so kann man (unter Berücksichtigung der Kräfte in der Gleichgewichtslage XG) die einzelnen Größen ausdrücken als
KF = - c · + G
(8 a)
KD= - k - x
(8b)
Damit erhält man die schon erwähnte Bewegungsgleichung (1) eines einläufigen Ein-Massen-Schwingers: •· · m x = — c - x — kx (9) Mit k/m = 2 und c/m = a2 wird die Gleichung umgeformt zu:
-l- 2 ·
H- a2x = 0
(10)
Für Gleichung (10) existiert ein Lösungsansatz [2]; es sind drei Fälle zu unterscheiden: < l: wobei
= e - *at [A · cos (cot) + B · sin (ü>t)] = J/1 — 2
= l : = (A + B · t) e - *at Brought to you by | University of Arizona Authenticated Download Date | 5/31/15 12:01 AM
(13)
4 Numerische Ergebnisse
Bild 4. Kräfte zur Berechnung des Ersatzsystems nach Bild 3. G = Körpergewicht / KF = Federkraft / KD = Dämpferkraft
m · -j^(x (t) + XG) = 2Fa
(11 c)
4.1 Systemparameter Für die Systemparameter der Bewegungsgleichungen wurden folgende Zahlenwerte angenommen. Körpermaße (ohne Bein) m = 55 kg Dämpfungszahl, variabel = -=- 2.0 Federkonstante (nach Ungethüm [8]) c = 898 kN/m (Der Wert für c ermittelt sich aus einer Reihenschaltung der Federsteifigkeiten von Schuh, unterer Extremität und Hüftgelenkprothese; beim gesunden Bein ergibt sich eine um nur ca. 8 % höhere Gesamtfederkonstante; daher gelten die folgenden Rechnungen mit einiger Genauigkeit auch für ein Bein ohne Prothese.) 4.2 Anfangsbedingungen Die Anfangsbedingungen für das Modell sind so zu wählen, daß sie realen Situationen entsprechen Für die vorliegende Untersuchung wurde angenommen, daß der Körper aus einer Höhe h von ca. 5 cm bzw. 20cm mit gestrecktem Bein auf den Boden fällt (Bild 5). 4.3 Kraft -und Wegkurven Die Kraft- und Wegkurven wurden mit den im 3. Kapitel angegebenen Gleichungen analytisch bestimmt. Zur Kontrolle diente außerdem eine Simulation am elektronischen Analogrechner (EAI 8800). Bild 6 zeigt für verschiedene Werte der Dämpfungszahl den Einschwingvorgang in die Gleichgewichtslage und den Kraftverlauf (Summe aus Feder- und Dämpferkraft; K = KF + KD) als Funktion der Zeit.
(11 a) 4.4 Maximalkräfte Variiert man (11 b) die zu jedem
im Bereich 0 bis 2.0 und trägt man gehörige Maximalkraft Fmax und die
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Maximalbelastung der Hüfte
Fall
h/cm
Vf
1
5.1
-1
0.6
2
20.4
-2
0.6
o/mm
' S
S
r
S
'
S
S
S
r
T
s
S
293
S
S
.
S
Wegx
S
IOH
Zeit t
Bild 5. Schemadarstellung eines Einschwingvorganges und zugehöriges Weg-Zeit-Diagramm mox mm
Bild 6. Weg — (x) und Kraftverlauf (K) beim EinSchwingvorgang für Fall 1: VQ = — l m/s; XQ = 0,6mm; = 0.0/0.2/0.5/1.5
K
max kN
i i
20 -.50^
Fall
Vo/ms
xo/mm
1
-1
2
-2
U
-1
0,6 0,6 -
10 - -
0 -L Dämpfungszahl K.
Bild 7. Verlauf der Maximalkraft und die Maximalauslenkung in Abhängigkeit von der Dämpfungszahl Kmax = | (Kp + KD) max | + G U: Kurve berechnet nach Ungethüm [8].
Maximalauslenkung xmax in einern Diagramm auf, so ergibt sich Bild 7.
Bei größeren x-Werten steigen die Kräfte linear an, wobei die größere Anfangsgeschwindigkeit einen zweifach größeren Anstieg bedingt.
5 Diskussion
Der Verlauf der Maximalauslenkung x,nax zeigt mit zunehmender Dämpfungszahl die zu erwartende Abnahme. Hinsichtlich der unter physiologischen Verhältnissen vorliegenden Werte von stehen keine exakten An-
Die Abhängigkeit der Maximalkräfte Kmax von der Dämpfungszahl zeigt bei beiden Anfangsgeschwindigkeiten nach anfänglichem Abfall ein Minimum der Kräfte im Bereich von = 0,2—0,4. Brought to you by | University of Arizona Authenticated Download Date | 5/31/15 12:01 AM
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gaben zur Verfügung. Anhaltswerte finden sich bei Artmann und Mitarbeitern [1]. Hier wurden die Beschleunigungen am Beckenkamm bei Einleitung von sinusförmigen Fremdbelastungen (Maximalwert 3,9 kN [400 kp]) auf einem Schütteltisch gemessen. Die verschiedenen Versuche mit harmonischen Beschleunigungserregungen ergaben ein Spektrum des Dämpfungsfaktors von = 0,4—1,0. Dieser erste Anhalt dafür, daß die Dämpfungswerte des Beines bei -Werten größer 0,4 liegen, wird vermutlich noch dadurch unterstützt, daß entsprechend Bild? bei der größeren Anfangsgeschwindigkeit Maximalauslenkungen x max von Werten größer als 9 mm bei Werten von = 0—0,4 abzulesen sind. Dies würde zu dem wenig wahrscheinlichen Ergebnis führen, daß sich die Länge des Beines im gestreckten Zustand um mehr als 9mm verändert. Andererseits wird auch eine obere Grenze für reale -Werte existieren. Sie ist dadurch bedingt, daß das Knochen-Bindegewebssystem des Beines nur bestimmte Maximalkräfte ohne Schädigung aufnehmen kann. Um exakte -Werte zu erhalten, bestehen unter anderem zwei Möglichkeiten: Zum einen wird die Stärke der Dämpfung durch das Verhältnis zweier zeitlich aufeinanderfolgender Extremwerte gleichen Vorzeichens der Lagekoordinate der Masse m beim Einschwingvorgang ermittelt. x (t = tn) (14) = Dabei ist fl das logarithmische Dekrement. Im anderen Fall wird über den Boden eine periodische Kraft auf das Bein eingeleitet. Nach der Einschwingzeit führt die Masse eine periodische Bewegung mit der Erregungsfrequenz aus. Der Unterschied in der Phasenlage zwischen Erregungskraft und Auslenkung der Masse ist ein Maß für die Dämpfung. 2 — 2 = —r- · tan v (15) 2 ' = Erregerfrequenz = c/m = Eigenfrequenz des ungedämpften Systems = Phasenverschiebung zwischen Erregerkraft und Massenauslenkung Für beide Methoden werden Messungen der Lagekoordinate der Masse m benötigt. In der Praxis bietet sich hierfür als Meßort der Beckenkamm unter Zuhilfenahme eines adaptierten Wegaufnehmers an. Es muß jedoch beachtet werden, daß bei den Messungen nicht nur das Bein, sondern auch der gesamte Restkörper Dämpfungseigenschaften aufweist. Da am verwendeten Simulationsmodell nur ein Dämpfungsglied vorliegt, werden die Dämpfungseigenschaften des Gesamtkörpers in diesem Glied vereint angenommen. Brought to you by | University of Arizona Authenticated Download Date | 5/31/15 12:01 AM
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Der Vergleich mit den nach Ungethüm ermittelten Werten (gleiches Modell) für Vo = l m/s zeigt bei Werten von = 0—0,4 ähnliche Werte für die Maximalkraft. Nimmt man größere -Werte an, kann die vereinfachte Gleichung nach Ungethüm nicht mehr verwendet werden. Bei den durchgeführten Berechnungen wurde eine Körpermasse von m = 55 kg vorausgesetzt. Damit ergibt sich schon bei = 0,4 eine Maximalkraft von Kmaxi = 6kN bzw. vom l Ifachen des Körpergewichtes bei Vo = l m/s. Damit liegen die Werte der Maximalkraft, die mit Hilfe des biomechanischen Ersatzmodells ermittelt wurden, um den Faktor 1,5—4 höher als die Schätzungen bzw. Messungen der Literatur beim Gehen. Während des normalen Gangzyklus dürften wesentlich geringere Stoßkräfte als beim Fall mit der Auftreffgeschwindigkeit VQ = l m/s üblich sein. Es kann jedoch angenommen werden, daß Kräfte der errechneten Größe durchaus auftreten. Im Falle von höheren -Werten als 0,4 müßten sich dann zwangsläufig erheblich höhere Kräfte als die bisher vom Gehen abgeleiteten Werte ergeben. Dies würde die Theorie stützen, daß nicht die zyklische Dauerbelastung des Gehens, sondern eher Gewaltbelastungen wie Stöße zu Lockerungs- bzw. Bruchphänomen bei Hüftendoprothesen führen. Literatur [1] Artmann, M., H. Kaltschmidt, K. Vternstein, C. J. Wirth: Das Verhalten der Beschleunigungsübertragung vom Beckenkamm auf einen äußeren Beschleunigungsaufnehmer beim Menschen, Biomed. Techn. 21 (1976), 213—221 [2] Magnus, K., H. H. Müller: Grundlagen der Technischen Mechanik, Teubner, Stuttgart (1974), 180 n*. [3] Müller, P. C., W. J. Schiehlen: Lineare Schwingungen, Akad.-Verl. Ger. Wiesbaden, 1976, 31 [4] Paul, J. P.: „Loading on normal hip and knee joints and on joint replacements", in: Advances in Artificial Hip and Knee Joint Technology, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1976, 53—70 [5] Pauwels, F.: Der Schenkelhalsbruch, F. Enke Verlag, Stuttgart (1935) [6] Pauwels, F.: Atlas zur Biomechanik der gesunden und kranken Hüfte, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1973 [71 Rydell, N.: Forces acting on the femoral headprothesis, Acta orthop. scand., Suppl. 88 (1966) [81 Ungethüm, M.: Tribologisch-biomechanische Untersuchungen für den totalen Gelenkersatz der menschlichen Hüfte, Dissertation (1976), TH Aachen 414 Anschriften der Verfasser: Dr.-Ing., cand. med. D. Gebauer Institut für Experimentelle Chirurgie der Technischen Universität München Ismaninger Straße 22 D-8000 München 80 Dipl.-Ing., Dipl.-Wirtsch.-Ing. H. örley Maschinenfabrik Augsburg—Nürnberg, Werk München, Neue Technologie Dachauer Str. 667 D-8000 München 50
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Analytische Bestimmung der maximalen Gelenkkraft in der Hüfte anhand eines biomechanischen Modells Analytical Determination of the Maximum Hip Joint Force by Means of a Biomechanical Model Aus dem Institut für Experimentelle Chirurgie der Technischen Universität München (Dir.: Prof. Dr. G. Blümel) Die Maximalbelastung der Hüfte stellt für viele orthopädische Probleme des Hüftgelenks eine wesentliche Größe dar. Besonders beim Gehen wurde diese Größe bisher gemessen, bzw. geschätzt und als relevanter Wert für die Hüftendoprothetik angenommen. Da aber beim Bewegungsablauf auch mit andersartigen, größeren Belastungen zu rechnen ist, erschien es sinnvoll, ein biomechanisches Modell zur Beurteilung solcher Situationen heranzuziehen. Mit ihm wurden die Maximalkräfte ermittelt, die beim Fall aus einer gewissen Höhe auf das gestreckte Bein z. B. am Straßenrandstein auftreten. Die gewonnenen Ergebnisse liegen zumindest um einen Faktor 1,5—4 höher als die aus der Literatur bekannten Werte beim Gehen. Daher sollten solche relativ seltenen Bewegungssituationen bei der biomechanischen Analyse der Hüftbelastung und eventuellen Dimensionierung von Hüftendoprothesen nicht außer Acht gelassen werden. The maximum hip load is a determining value in many orthopedic Problems. This Parameter has so far been measured or estimated mainly for regulär locomotion activities äs a relevant value for hip prosthetics. As there are many other types of activities in which different and increased loads are acting it seemed to be suitable to develop a biomechanical model for assessment of these situations. By means of this model the maximum forces acting on the extended leg when dropping from a certain hight i.e. from the curbstone were calculated. The results of this procedure are at least, 1,5 to 4 times higher than that ones known from literature. These relatively seldom activities should therefore not be neglected in the biomechnical analysis of hip joint forces äs well äs in the design of artificial hip joints.
l Einleitung Beim Gehen tritt die größte Beanspruchung im Hüftgelenk während der Standbeinphase auf. Nach Pauwels [5] lassen sich die Maximalbelastungen durch Berechnung der in die Frontalebene projizierten Kräfte erhalten. Von dieser Grundlage ausgehend wurde von einigen Autoren diese Belastung des Hüftgelenkes, d. h. die auf das Gelenk wirkende, resultierende Kraft abgeschätzt. Bekanntlich läßt sich diese Resultierende aus dem Momentengleichgewicht um den Gelenkmittelpunkt bedingt durch das Körpergewicht und die Muskelkräfte errechnen. Pauwels [6] kam so zu dem Ergebnis, daß die maximale Druckkraft etwa dem vierfachen Wert des Körpergewichts entspricht. Paul [4] ermittelte Kräfte vom 4,9fachen des Körpergewichtes beim normalen Gehen und vom 7,6fachen beim schnellen Gehen. Rydell [7] stellte durch'Implantation einer Kopfprothese mit Kraftmeßaufnehmern bei der Hüftbelastung Maximalwerte vom 3—4fachen beim Gehen und 4,3fachen beim Laufen fest. Ungethüm [8] schlägt zur Berechnung der maximalen Kräfte eine explizite Gleichung vor. Die beschriebene Maximalkraft im Hüftgelenk spielt auch bei den im letzten Jahrzehnt so zahlBrought to you by | University of Arizona Authenticated Download Date | 5/31/15 12:01 AM
reich durchgeführten Implantationen von Totalhüftendoprothesen eine wesentliche Rolle. Sie tritt als periodischer Wert bei jedem Gangzyklus als Belastung des künstlichen Gelenkes auf. Hinsichtlich der allgemeinen Dimensionierung von Prothesen scheint es sinnvoll, solche Kräfte anhand eines biomechanischen Modells der unteren Extremität unter Berücksichtigung der Feder- und Dämpfungseigenschaften des Beines theoretisch zu ermitteln. Es soll in dieser Arbeit die maximale Kraft anhand eines einfachen Modells im Vergleich mit den beim Gehen gemessenen und geschätzten Werten ermittelt werden. 2 Beschreibung des biomechanischen Modells
Die untere Extremität läßt sich als Gliederkette mit einzelnen Gelenken auffassen, wie sie in Bild l dargestellt ist. Ein biomechanisches Ersatzmodell der unteren Extremität verlangt die Berücksichtigung sowohl der Federungs- als auch der Dämpfungseigenschaften des Beines. Bei exakter Simulation müßten für jedes Glied die jeweiligen Materialeigenschaften bekannt sein. Diese Werte sind aber zur Zeit nicht"in ausreichendem Maß ermittelt, so daß es sinnvoll erscheint, b^i
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der Simulation das gesamte Bein primär durch ein Element zu ersetzen. Als physiologisches Korrelat eines solchen Gliedes könnte das im Kniegelenk gestreckte Bein gelten, dessen Stoßbelastung ohnehin die problematische Belastung des Hüftgelenkes bedeutet.
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gigkeit von der Zeit, deren zweimaliges Differen•· zieren die Gleichung für die Beschleunigung der Masse m ergibt. Durch Ermittlung des absoluten •· Maximums von kann die maximal im Ersatzmodell auftretende Hüftgelenkskraft errechnet werden: •·
Fmax = m ' | X m ax |
KÖRPER
Ungethüm gibt eine Gleichung für die beim Schwingungsvorgang auftretende maximale Kraft an, ohne ihre Herleitung von der gleichermaßen verwendeten Differentialgleichung zu erläutern:
OBERSCHENKEL
I? max —
2m · vo · c l/k + 4m· c - k 2
Damit zeigt er eine Abhängigkeit der Maximalkraft von der Federkonstanten c, Dämpfungskonstanten k und Anfangsgeschwindigkeit VQ.
FUSS MIT SCHUH
Bild 1. Schema der Gliederkette der unteren Extremität
Als vereinfachtes Ersatzsystem empfiehlt sich der schon von Ungethüm [8] verwendete Ein-MassenSchwinger mit Feder und Dämpfer, der in allgemeiner Form in Bild 2 gezeigt ist.
rn-x
\ Bild 2. Ein Massenschwinger mit Feder und Dämpfer. Darin bedeuten: m = Masse des Körpers ohne Standbein (kg) l c — Federkonstante (N/m) / k = Dämpfungskonstante (Ns/m) / = Weg (m) / H = Hüftgelenk / h = Fallhöhe (m)
Um die Wirkung von Stoßkräften auf das Hüftgelenk analytisch zu ermitteln, wurde die obige Differentialgleichung (1) gelöst und die Maximalkraft in Abhängigkeit von verschiedenen Parametern, auch vergleichend mit dem Ergebnis von Ungethüm, errechnet. Hinter der speziellen Modellannahme des auf einen nicht schwingenden Boden auftreffenden Ersatzsystems steht die Vorstellung eines Sturzes aus einer gewissen Höhe (z.B. Straßenrandstein) auf das gestreckte Bein. Nach dem Durchfallen einer Höhe h nimmt der Körper die Geschwindigkeit vo = l/2gh an und wird beim Auftreffen auf einen sehr harten Boden (Beton) auf die Geschwindigkeit 0 abgebremst. Aufgrund der Feder- und Dämpfungseigenschaften des Beins führt das Bein eine Schwingung aus, die bei der Simulation erfaßt werden soll. 3 Mathematische Beschreibung des Ein-Massen-Schwingers
Unter den in Kapitel 2 aufgeführten Vereinfachungen kann man für das vorliegende Problem das mechanische Ersatzsystem entsprechend Bild 3 annehmen:
Die Differentialgleichung für die Bewegung eines solchen Schwingers lautet: wobei
(3)
Mit VQ = Anfangsgeschwindigkeit, alle anderen Symbole wie in Bild 2.
UNTERSCHENKEL
m
(2)
Körpermasse ( m )
(1)
d2x
dx
(Herleitung der Formel siehe Kap. 3). Durch Lösung dieser Differentialgleichung erhält r'an eine Funktion des Weges = (t) in AbhänBrought to you by | University of Arizona Authenticated Download Date | 5/31/15 12:01 AM
Dämpfung ( k )
Feder ( c )
N N
VN
Bild 3. Mechanisches Ersatzsystem für den Fall eines Ein-Massen-Schwingers
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Die Bewegung der Masse m (und damit auch die Kraft auf die Masse) läßt sich durch Differentialgleichungen beschreiben. Das Aufstellen der Gleichungen kann über das Verfahren von NewtonEuler erfolgen. Dazu werden Feder und Dämpfer durch die Kräfte ersetzt, die sie auf die Masse ausüben; sie werden damit zu äußeren Kräften. Ebenso wird das am Körper angreifende Gewicht der Masse m als äußere Kraft aufgefaßt und eine Koordinate (t) festgelegt, die die vertikale Verschiebung aus der Gleichgewichtslage XG beschreibt (siehe Bild 4).
x(t)
> l : x =e- *at [A · cosh ( ) + B · sinh wobei = l/l — 2
Die in diesen Gleichungen auftretenden Konstanten A, B werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt: (12) x (t = 0) = xo : x (t = 0) = xo = vo Dabei ist xo die Auslenkung des Schwingers aus der Gleichgewichtslage zu dem Zeitpunkt, zu dem das gestreckte, entlastete Bein am Boden auftrifft. Nach der erwähnten zweimaligen Differenzierung von x (•t) läßt sich die gesamte Kraft (= Summe aus Federund Dämpfungskraft), die im Hüftgelenk übertragen wird, bestimmen:
m ·x =
Gleichgewichts lage K
F
K
x/*»
D
Nach der Newton-Euler'schen Methode gilt, daß die Beschleunigung der Masse m proportional der Summe der auf sie einwirkenden äußeren Kräfte F a ist[3]:
(6)
Ersetzt man den Summenausdruck der Gleichung durch die am Körper angreifenden Kräfte und berücksichtigt, daß XG = constant ist, so erhält man
m · = KF + K D - G
(7)
Nimmt man lineare Feder- und Dämpferkennlinien und eine geschwindigkeitsproportionale Dämpfung an, so kann man (unter Berücksichtigung der Kräfte in der Gleichgewichtslage XG) die einzelnen Größen ausdrücken als
KF = - c · + G
(8 a)
KD= - k - x
(8b)
Damit erhält man die schon erwähnte Bewegungsgleichung (1) eines einläufigen Ein-Massen-Schwingers: •· · m x = — c - x — kx (9) Mit k/m = 2 und c/m = a2 wird die Gleichung umgeformt zu:
-l- 2 ·
H- a2x = 0
(10)
Für Gleichung (10) existiert ein Lösungsansatz [2]; es sind drei Fälle zu unterscheiden: < l: wobei
= e - *at [A · cos (cot) + B · sin (ü>t)] = J/1 — 2
= l : = (A + B · t) e - *at Brought to you by | University of Arizona Authenticated Download Date | 5/31/15 12:01 AM
(13)
4 Numerische Ergebnisse
Bild 4. Kräfte zur Berechnung des Ersatzsystems nach Bild 3. G = Körpergewicht / KF = Federkraft / KD = Dämpferkraft
m · -j^(x (t) + XG) = 2Fa
(11 c)
4.1 Systemparameter Für die Systemparameter der Bewegungsgleichungen wurden folgende Zahlenwerte angenommen. Körpermaße (ohne Bein) m = 55 kg Dämpfungszahl, variabel = -=- 2.0 Federkonstante (nach Ungethüm [8]) c = 898 kN/m (Der Wert für c ermittelt sich aus einer Reihenschaltung der Federsteifigkeiten von Schuh, unterer Extremität und Hüftgelenkprothese; beim gesunden Bein ergibt sich eine um nur ca. 8 % höhere Gesamtfederkonstante; daher gelten die folgenden Rechnungen mit einiger Genauigkeit auch für ein Bein ohne Prothese.) 4.2 Anfangsbedingungen Die Anfangsbedingungen für das Modell sind so zu wählen, daß sie realen Situationen entsprechen Für die vorliegende Untersuchung wurde angenommen, daß der Körper aus einer Höhe h von ca. 5 cm bzw. 20cm mit gestrecktem Bein auf den Boden fällt (Bild 5). 4.3 Kraft -und Wegkurven Die Kraft- und Wegkurven wurden mit den im 3. Kapitel angegebenen Gleichungen analytisch bestimmt. Zur Kontrolle diente außerdem eine Simulation am elektronischen Analogrechner (EAI 8800). Bild 6 zeigt für verschiedene Werte der Dämpfungszahl den Einschwingvorgang in die Gleichgewichtslage und den Kraftverlauf (Summe aus Feder- und Dämpferkraft; K = KF + KD) als Funktion der Zeit.
(11 a) 4.4 Maximalkräfte Variiert man (11 b) die zu jedem
im Bereich 0 bis 2.0 und trägt man gehörige Maximalkraft Fmax und die
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Maximalbelastung der Hüfte
Fall
h/cm
Vf
1
5.1
-1
0.6
2
20.4
-2
0.6
o/mm
' S
S
r
S
'
S
S
S
r
T
s
S
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S
S
.
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S
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Bild 5. Schemadarstellung eines Einschwingvorganges und zugehöriges Weg-Zeit-Diagramm mox mm
Bild 6. Weg — (x) und Kraftverlauf (K) beim EinSchwingvorgang für Fall 1: VQ = — l m/s; XQ = 0,6mm; = 0.0/0.2/0.5/1.5
K
max kN
i i
20 -.50^
Fall
Vo/ms
xo/mm
1
-1
2
-2
U
-1
0,6 0,6 -
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0 -L Dämpfungszahl K.
Bild 7. Verlauf der Maximalkraft und die Maximalauslenkung in Abhängigkeit von der Dämpfungszahl Kmax = | (Kp + KD) max | + G U: Kurve berechnet nach Ungethüm [8].
Maximalauslenkung xmax in einern Diagramm auf, so ergibt sich Bild 7.
Bei größeren x-Werten steigen die Kräfte linear an, wobei die größere Anfangsgeschwindigkeit einen zweifach größeren Anstieg bedingt.
5 Diskussion
Der Verlauf der Maximalauslenkung x,nax zeigt mit zunehmender Dämpfungszahl die zu erwartende Abnahme. Hinsichtlich der unter physiologischen Verhältnissen vorliegenden Werte von stehen keine exakten An-
Die Abhängigkeit der Maximalkräfte Kmax von der Dämpfungszahl zeigt bei beiden Anfangsgeschwindigkeiten nach anfänglichem Abfall ein Minimum der Kräfte im Bereich von = 0,2—0,4. Brought to you by | University of Arizona Authenticated Download Date | 5/31/15 12:01 AM
Maximalbelastung der Hüfte
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gaben zur Verfügung. Anhaltswerte finden sich bei Artmann und Mitarbeitern [1]. Hier wurden die Beschleunigungen am Beckenkamm bei Einleitung von sinusförmigen Fremdbelastungen (Maximalwert 3,9 kN [400 kp]) auf einem Schütteltisch gemessen. Die verschiedenen Versuche mit harmonischen Beschleunigungserregungen ergaben ein Spektrum des Dämpfungsfaktors von = 0,4—1,0. Dieser erste Anhalt dafür, daß die Dämpfungswerte des Beines bei -Werten größer 0,4 liegen, wird vermutlich noch dadurch unterstützt, daß entsprechend Bild? bei der größeren Anfangsgeschwindigkeit Maximalauslenkungen x max von Werten größer als 9 mm bei Werten von = 0—0,4 abzulesen sind. Dies würde zu dem wenig wahrscheinlichen Ergebnis führen, daß sich die Länge des Beines im gestreckten Zustand um mehr als 9mm verändert. Andererseits wird auch eine obere Grenze für reale -Werte existieren. Sie ist dadurch bedingt, daß das Knochen-Bindegewebssystem des Beines nur bestimmte Maximalkräfte ohne Schädigung aufnehmen kann. Um exakte -Werte zu erhalten, bestehen unter anderem zwei Möglichkeiten: Zum einen wird die Stärke der Dämpfung durch das Verhältnis zweier zeitlich aufeinanderfolgender Extremwerte gleichen Vorzeichens der Lagekoordinate der Masse m beim Einschwingvorgang ermittelt. x (t = tn) (14) = Dabei ist fl das logarithmische Dekrement. Im anderen Fall wird über den Boden eine periodische Kraft auf das Bein eingeleitet. Nach der Einschwingzeit führt die Masse eine periodische Bewegung mit der Erregungsfrequenz aus. Der Unterschied in der Phasenlage zwischen Erregungskraft und Auslenkung der Masse ist ein Maß für die Dämpfung. 2 — 2 = —r- · tan v (15) 2 ' = Erregerfrequenz = c/m = Eigenfrequenz des ungedämpften Systems = Phasenverschiebung zwischen Erregerkraft und Massenauslenkung Für beide Methoden werden Messungen der Lagekoordinate der Masse m benötigt. In der Praxis bietet sich hierfür als Meßort der Beckenkamm unter Zuhilfenahme eines adaptierten Wegaufnehmers an. Es muß jedoch beachtet werden, daß bei den Messungen nicht nur das Bein, sondern auch der gesamte Restkörper Dämpfungseigenschaften aufweist. Da am verwendeten Simulationsmodell nur ein Dämpfungsglied vorliegt, werden die Dämpfungseigenschaften des Gesamtkörpers in diesem Glied vereint angenommen. Brought to you by | University of Arizona Authenticated Download Date | 5/31/15 12:01 AM
Biomedizinische Technik Band 23 Heft 12/78
Der Vergleich mit den nach Ungethüm ermittelten Werten (gleiches Modell) für Vo = l m/s zeigt bei Werten von = 0—0,4 ähnliche Werte für die Maximalkraft. Nimmt man größere -Werte an, kann die vereinfachte Gleichung nach Ungethüm nicht mehr verwendet werden. Bei den durchgeführten Berechnungen wurde eine Körpermasse von m = 55 kg vorausgesetzt. Damit ergibt sich schon bei = 0,4 eine Maximalkraft von Kmaxi = 6kN bzw. vom l Ifachen des Körpergewichtes bei Vo = l m/s. Damit liegen die Werte der Maximalkraft, die mit Hilfe des biomechanischen Ersatzmodells ermittelt wurden, um den Faktor 1,5—4 höher als die Schätzungen bzw. Messungen der Literatur beim Gehen. Während des normalen Gangzyklus dürften wesentlich geringere Stoßkräfte als beim Fall mit der Auftreffgeschwindigkeit VQ = l m/s üblich sein. Es kann jedoch angenommen werden, daß Kräfte der errechneten Größe durchaus auftreten. Im Falle von höheren -Werten als 0,4 müßten sich dann zwangsläufig erheblich höhere Kräfte als die bisher vom Gehen abgeleiteten Werte ergeben. Dies würde die Theorie stützen, daß nicht die zyklische Dauerbelastung des Gehens, sondern eher Gewaltbelastungen wie Stöße zu Lockerungs- bzw. Bruchphänomen bei Hüftendoprothesen führen. Literatur [1] Artmann, M., H. Kaltschmidt, K. Vternstein, C. J. Wirth: Das Verhalten der Beschleunigungsübertragung vom Beckenkamm auf einen äußeren Beschleunigungsaufnehmer beim Menschen, Biomed. Techn. 21 (1976), 213—221 [2] Magnus, K., H. H. Müller: Grundlagen der Technischen Mechanik, Teubner, Stuttgart (1974), 180 n*. [3] Müller, P. C., W. J. Schiehlen: Lineare Schwingungen, Akad.-Verl. Ger. Wiesbaden, 1976, 31 [4] Paul, J. P.: „Loading on normal hip and knee joints and on joint replacements", in: Advances in Artificial Hip and Knee Joint Technology, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1976, 53—70 [5] Pauwels, F.: Der Schenkelhalsbruch, F. Enke Verlag, Stuttgart (1935) [6] Pauwels, F.: Atlas zur Biomechanik der gesunden und kranken Hüfte, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1973 [71 Rydell, N.: Forces acting on the femoral headprothesis, Acta orthop. scand., Suppl. 88 (1966) [81 Ungethüm, M.: Tribologisch-biomechanische Untersuchungen für den totalen Gelenkersatz der menschlichen Hüfte, Dissertation (1976), TH Aachen 414 Anschriften der Verfasser: Dr.-Ing., cand. med. D. Gebauer Institut für Experimentelle Chirurgie der Technischen Universität München Ismaninger Straße 22 D-8000 München 80 Dipl.-Ing., Dipl.-Wirtsch.-Ing. H. örley Maschinenfabrik Augsburg—Nürnberg, Werk München, Neue Technologie Dachauer Str. 667 D-8000 München 50
![[The human knee-joint as a biomechanical problem (author's transl)].](/assets/img/hold.png)
